浅谈高等数学教学与实际问题的结合

摘要：高等数学是理工科专业学生的基础课程，可以为实际问题的学习和研究提供帮助。本文针对高等数学的教学进行了思考，以具体问题为例，阐述了如何提高学生学习高等数学的兴趣，并将知识灵活运用到应用科学问题中。

关键词：高等数学；应用科学问题；理论基础应用

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）35-0087-02

《高等数学》是理工科专业的一门理论性较强的自然科学基础课程，是后继很多基础课程和专业课程必不可少的基础知识。通过学习高等数学的基本概念、基本原理，可以使学生在数理基础方面具有一定的理论水平，进而提高学生的基础应用能力。高等数学涵盖的内容十分丰富，包括函数与极限、一元函数、多元函数和复变函数的微积分、向量代数与空间解析几何、级数、常微分方程等，这些内容在一些应用科学问题中有非常广泛的应用。然而，很多学生感觉高等数学的学习十分枯燥、乏味，无法提起学习兴趣。因此，能够在讲解高等数学时结合应用科学问题，会提高学生的学习兴趣，进而巩固其对于高等数学的掌握。职是之故，将培养数学思维方法与解决实际问题的能力相结合是当前高等数学教学需要关注的问题。我们在物理电子类课程的教学中对于高等数学课程和实际问题之间的促进作用有着一定的体会，如果学生高等数学学习得比较好，学习一些内容如鱼得水，这体现了高等数学对于解决实际应用问题的促进作用；在学习物理电子类课程中，有些同学反映对于以前学习得高等数学知识有了更深的理解和体会，甚至之前几乎完全不懂的数学概念现在懂了，这体现了实际应用问题的讲解对于高等数学学习的促进作用。下面就几个具体的例子来阐述如何在高等数学的教学中结合实际问题。

一、单摆问题

在高中物理里，学生们就已经学习过了单摆问题。然而，由于高等数学知识的缺乏，学生们只能死记硬背单摆的周期公式，即T=2π（L/g）1/2，其中L是单摆的摆长，g是重力加速度。这十分不利于学生对于单摆问题和简谐运动的深刻理解。因此，在高等数学讲到常微分方程时，甚至在讲到微分时，就可以把单摆问题作为微积分的实际应用讲解给学生。可以参考如下讲法，即先根据牛顿第二定律将质点的运动方程列出，通过小角近似得到一个二次微分方程。这时，既可以利用常规的常微分方程解法来解这个方程，也可以利用观察法得到该方程的解是余弦函数，从而得到单摆的周期。通过单摆问题的求解，既令学生对于高等数学中的微积分和解常微分方程的知识得到了巩固，又令学生对于高中物理里的单摆问题加深了理解。

二、流体中运动物体的速度问题[1]

流体的范围很广，包括空气、水等气态或者液态的物质。可以这么说，现实生活中的物体运动绝大多数都是在流体中进行的。因此，流体中运动物体的速度问题是十分具有实际背景和应用价值的。在这类问题中，流体阻力的影响分析是关键。根据实验和理论分析，我们知道流体阻力Fd=1/2CdAρv2，其中Cd是曳引系数，A是有效截面积，ρ是流体密度，v是物体相对于流体的运动速度。物体在流体中下落，受到重力和流体阻力，所以总受力为F=mg-1/2CdAρv2。物体所受力平衡时的速度定义为终极速度，因此可以解得终极速度为vT=（2mg/CdAρ）1/2。利用上面这个表达式，我们可以把运动方程写成dv/dt=g（1-v2/vT2），进一步改写为（dv/dz）（dz/dt）=g（1-v2/vT2），又因为dz/dt=v，所以有dv2/（1-v2/vT2）=2gdz，取初始条件z=0，v=0，两边积分得v2=vT2[1-exp（-z/zc）]，其中zc=m/CdAρ。这个解说明流体中运动物体的速度永远达不到终极速度，但是随着运动的进行，会以指数方式趋近于终极速度。该问题的解决依赖于学生对于微分定义的理解和灵活运用以及如果通过积分来求解微分方程的能力，对于学生微积分的学习大有裨益。

三、平面静电场的复势问题[2]

在工程技术中往往要解决很多平面矢量场的问题，例如平面静电场等。由于是平面矢量问题，因此需要用两个变量来描述该类问题，换句话说，需要用两个函数来描述这个平面场的性质。在场论中，通常用一对共轭调和函数来描写。这说明描述平面矢量场的两个函数构成的复变函数是解析函数，于是人们利用解析函数的理论来统一研究平面场的性质，这不仅使得问题的表达形式比较紧凑，而且常常会引出新的结果。而在平面静电场问题中，电通和电势均是调和函数，即满足拉普拉斯方程，因此由电通量作实部、电势作虚部组成的函数是解析函数，可以描述平面静电场的性质。该解析函数通常称为平面静电场的复势。通过分析不同解析函数所代表的平面静电场，可以令学生对于复变函数中的模、辐角等的物理意义有比较深入的了解，同时对于解析函数的定义、解析函数和共轭调和函数间的关系、柯西-黎曼定理以及拉普拉斯方程等内容可以融会贯通。所以，在高等数学复变函数教学时能够结合该问题加以分析讨论，对于学生的复变函数内容的掌握具有重要的意义。

四、放大电路的频率响应问题

放大电路的频率响应是模拟电子线路课程的重要内容，也是一些电子器件研制时重要的理论依据，比如著名的相移反馈振荡器就是利用了频率响应。我们在模拟电子线路课程的教学中深深体会到，有些学生对于复变函数的学习不够灵活和圆融，因此在讲解放大电路的频率响应时学生学得比较吃力。所以，如果高等数学在讲解复变函数时，可以将放大电路里的高通电容电阻电路和低通电容电阻电路作为一个实际例子来讲解的话，可以让学生充分理解复变函数的意义，也会对复变函数的作用有一定的体会。在历史上，相移反馈振荡器就是利用电容电阻电路由斯坦福大学的两位学生开发的，并用其制成了一批可变频声音发生器，卖给了沃尔特·迪斯尼公司，而相移反馈振荡器的原理用简单的复变函数和微积分的知识就可以让学生明白。这会大大激发学生对于学习高等数学的兴趣和动力。以上的4个问题是高等数学教学中关于微积分和复变函数部分与实际应用问题相结合的实例。纵观高等数学的全部内容，还有很多地方可以与实际应用问题相结合，比如级数展开对于量子力学中的微扰问题的应用、高斯定理对于电动力学中静电场的散度方程的应用等等。因此，高等数学的教学需要教师有针对性地精心挑选和设计有助于学生理解和掌握高等数学内容的各种有启发作用的实际应用问题，这里就不一一赘述。

总之，我们浅谈了高等数学教学与实际应用问题相结合的教学方法。有助于学生后续课程的学习。更重要的是，该教学方法能够激发学生学习的兴趣和主动性，提高了课堂教学效率，乃至于促进了学生们对于科学知识的向往和尊敬。需要注意的是，在教学过程中，教师应该注意掌握课堂内容的主次，在时间上对于基础理论和实际问题的讲解做合理的分配。我们相信随着高等数学等基础科学课程教学的进步，我国的高等教育会在21世纪有长足的发展。

参考文献：

[1]卢德馨.大学物理学[M].第2版.北京：高等教育出版社，2003.

[2]邵惠民.数学物理方法[M].北京：科学出版社，2004.

基金项目：南京邮电大学引进人才科研基金启动项目（NY213025）；南京邮电大学教学改革研究项目（JG03313JX73）。