进阶渗透“微元法”的教学研究

摘 要：针对当前高中物理对“微元法”教与学中存在的脱节低效的困惑，本文从科学思维特征、教材编写意图、核心素养目标、学生认知顺序、教学匹配原则五方面阐述进阶渗透“微元法”教学研究的依据与思考。

关键词：进阶渗透；微元法；教学研究

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2017）12-0026-5

当下世界各国基础教育共同关注“国民核心素养”的发展，每门学科、课程都肩负着培养学生核心素养的不可或缺的独特使命。高中物理学科重点承载理性思维、批判质疑、勇于探究、问题解决、社会责任等素养要点。其中，科学思维与科学方法是学科核心素养的重要构成要素。思维方法中解决物理问题的重要数学工具——“微积分”作为研究非线性变化重要的数学方法，其应用与发展已广泛地渗透到了物理学、化学、经济学等各个领域，它不仅是物理学、力学和工程技术上普遍采用的方法，而且可解决日常生活中许多复杂的问题，如气象预测、人造卫星轨迹的计算，运动过程的分析、股市变化研判、商品生产的供需平衡、市场预警等。

然而，在高中阶段物理学习中，由于数学学习上的滞后局限，对可以使用微积分来进行计算的一些问题，如變力、流体、曲线运动等问题在高中阶段运用初等数学很难解决。而与微积分一脉相承的、具有积分学重要雏形的“微元法”，是解决上述问题行之有效的替代方法。在高中培养“微元法”思维方法，学生不仅能品味“微积分”的基本思想，洞察微积分运用的基本过程，而且有利于高考压轴题的突破，有益于后续高校学习的顺应对接。但“微元法”对学生的细致思考能力和极限思维能力要求较高，在实际教学实践中师生普遍感觉“难教难学”。即便是高三学生也往往“谈微色变”、望而却步。如何运用“自然保护区”模式，既保护每一种类型学生的天赋与价值，又能最大化、最优化激发微元思维的落地生根、开花散叶？《老子》中有“合抱之木，生于毫木。九层之台，起于累土。”笔者认为，要运用系统论、控制论的思想和方法，在高中阶段有计划、分阶段规划分散“微元法”的教学难点，循序渐进地渗透“微元法”，才可能更好地实现与学生能力素质、个性特征相匹配的“同步”教学。下面就进阶渗透“微元法”的教学谈谈个人的看法。

1 进阶依据

1.1 依据科学思维特征，确定进阶渗透方案

（1）什么是微元法

对于一些复杂的连续变化的物理现象和物理过程，从整体或全局处理感到困难时，可根据问题需要，将研究对象、研究过程或研究时间等 “千刀万剐”分割为适当的微元进行研究，如质元（极小质点Δm）、位移元（极短的距离Δx）、时间元（极小的时间Δt）等，再运用物理规律找出微元间的关系，最后对元过程进行必要的累加求出累积量，进而解决问题。这种方法称“微元法”，又称微小变量法。简要来说“微元法”就是采用分割逼近、近似代替、累计求和的三步骤，应用积分的思想，化整为零，积零为整。化变为恒，化曲为直，使变量、难以确定的量为常量或易于确定的量，达到了解整体、解决问题的目的。

（2）什么是进阶渗透

在古汉语中，“进阶”一词有“台阶”的意思，通常指从低级到高级的过程。“渗透”指融合为一。进阶渗透教学是在原来的基础上有较大程度提高的、渐进式融合的教学方式。进阶渗透教学，就是立足全局，将问题的难点细化，分散到各学段各个突破，要求教师像研究项目的导师，课堂像“创客联通平台”，通过各学段、各阶段的集体思维攻关，资源共享，实现“个性化学习”的需求。最终达成核心素养目标，习得一种思维方式，获得自我升级与幸福的能力。

1.2 依据教材编写意图，确定进阶渗透模版

教材对“微元法”的谋篇布局精心规划，贯穿于高中物理学习的始末。下面以某版本《物理》教材为例，说明微元法在教材中的进阶序，如表1所示。

必修1教材从平均速度出发，首次采用逼近真实的思想，提出从s到s+Δs这段运动过程内，Δs越小平均速度与瞬时速度的差异也就越小，运动的描述就越精确。在此基础上，再提出若Δs足够小时，就可以认为Δs的平均速度就是s位置的瞬时速度。接着，再提出测t位置的瞬时速度的方法类似。正是这种无限分割逼近的方法，可以使原来不易测量的瞬时速度转化为可测量的平均速度，可以使原来较为复杂的过程转化为简单的过程。教材从“足够小”，构建逼近模型，渗透了“位移微元”的理念。在推导匀变速直线运动的位移公式，教材通过拓展一步结合图文，让学生体会运用逼近模型能够有效地逼近非线性曲线的面积，将微元思想集成为无限细分，无限求和。教材第一次明确提出推导中用到了微积分思想，即无限分割，逐渐逼近真实状况。

必修1教材总体上反映思维方法特征。学生从Δt足够小，了解了“时间微元”“面积近似”的同时，也掌握了用“微元法”处理问题的基本方法。从研究运动过程分割时间、分割位移的角度潜移默化“元过程”意识，感悟微积分思想的核心：逼近模型、化变为恒。

必修2教材强调运用微元思想求解功的差异。开始求解变力功是应用“位移微元”与“面积近似”的微元思想，进一步渗透“化变为恒”，“部分和的极限”的思想。其次，求解曲线运动的重力功渗透“化曲为直”的思想，“直”向“曲”的逼近。必修2教材对“微元法”体现研究过程特征。强调从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从近似认识准确，渗透了朴素的哲学思想。

选修3-1编排按照从“力”到“电”最后“磁”的顺序安排，关注“微元法”从力学到电磁学的迁移运用。选修3-1教材首先抓住导体棒的对称性无限分割后可累加的使用条件，将研究对象无限分割为“元电荷”。接着在研究电流强度与安培力时强化了对“电流微元”的理解，同时再次显化运用的关键条件是分割求和可运算。在此部分的教材体系中体现方法应用技能。如推导洛伦兹力公式，电流与磁场的作用等。

选修3-2编排仍然体现方法应用技能。从电磁感应中连续变化的处理方法，一步一步从“线微元”“面积微元”，从实验、理论、实践的环节渗透“分割、累加”的微元思想。

选修3-3编排反映思维方法特征。体现了微观角度、从液体分子到气体分子的微观统计中渗透了微小累积，平均替代统计思想。

选修3-4编排体现研究过程特征。在动力学研究中关注了非线性变化的问题，将不易研究的變力、曲线问题微元化为 “位移微元”，从而化变为恒，化杂为简。此部分对微元法更多关注“线微元”的学以致用。

选修3-5编排体现方法应用技能。此部分着重突出对变力、变质量的变化处理，关注常量向变量的逼近替代思想。

从教材编排顺序上看，对“微元法”建构了较长时间内的学习进阶。学习“微元法”经历了简单到复杂的过程，从匀加速直线运动到匀加速曲线运动，从恒力到变力，从力学到电磁学、热学、光学、原子物理等，从定性到定量，从了解到运用推导、动手实践，潜移默化地渗透微元法，促进学生核心素养的发展。

1.3 依据核心素养目标，确定进阶渗透层级

基于物理核心素养目标与学生多元发展，确定“微元法”阶段要求为四个层级：

层级一：结合瞬时速度定义案例与匀变速直线运动位移公式推导案例，认识形成物理观念，知道研究物理问题的本质方法：逼近思维、极限方法、微元思想。

层级二：结合变力功的图像理解案例与曲线运动中重力功的推导案例，知道“微元法”模型；能对比较简单的问题运用“微元法”获得结论。能体会科学思维中的“化变为恒”“化曲为直”的抽象方法和建构微元法过程的特征。

层级三：能使用“微元法”模型解决问题，能对现实问题判断能否使用“微元法”。能进行分析和推理，获得结论并作出解释。

层级四：能在特定的情境下，能从“微元法”视角建构、分析、表达自己的观点，能从不同角度思考、综合分析各种自然、生活、社会中与“微元法”相关的问题。

1.4 依据学生的认知顺序，确定进阶渗透策略

（1）前认知。学生对“微元法”的认识在小学已经开始了。第一次接触是小学六年级上学期学习圆面积的问题求解中，对分割逼近，累加求和就有了朴素的逼近典型的概念，就有了微积分的思想。随后，在进一步的数学学习中对球和球冠面积等任意图形的讨论学习求解，无不体现渗透着“微元法”的替代思想，所以要注意整合相关学科的认知储备，缓坡前进。

（2）学段序。要依据学段学情，分散教学的难点，确定每一阶段、每一层级的具体学习内容。高一主要从建构角度，从物理概念、公式中反映思维方法特征，理解“微元法”的思想、步骤。高二主要从过程角度，从课后练习、推导中掌握运用“微元法”的过程技巧。高三主要从技能角度，从复习解题、应用实践中学会用“微元法”解决实际问题。

1.5 依据教学匹配原则，确定进阶教学内容

“微元法”各学段教学设计要围绕充分展现微元法的思维魅力，防止教学高原现象。高一浅入浅出介绍“微元法”的思想、思维方法。教学中建议引入用微元法处理生活问题的相关例子，增加感性认知，激发学生对“微元法”思维的同化与内化。“微元法”不是任何层次的学生可以接受的，此阶段应轻数学运算技能，重在微元思想的彰显，根据学生的不同情况作适切的调整。高二文理分科后，对理科生更应侧重于微元思想方法的领悟，重在培养学生研究性学习的能力。注重对微元思维的训练，选择应用到实际生活的例子，理解微元法的妙用，渗透过程与结果、有限与无限、直与曲、不变与变的对立统一思维。如果高一是认知微元思想，高二是明晰微元方法，高三就是注重微元应用。高三复习阶段，重在培养学生解决问题的能力。无论哪一阶段教学设计的指导思想是设计诸多小课题，合理的激励措施，吸引学生进入后续学习的轨道。

2 案例说明

案例（一）：瞬时速度的定义关注微元法课堂问题的设置。

1.提出问题：

质点变速直线运动求在某位置的速度？例如：观察一辆电动玩具汽车沿着一条米尺运动。若玩具汽车运动得足够慢，可以用一台数字钟记录下不同时刻的位置。请你设计能测出通过某位置对应瞬时速度的实验方案。

2.讨论质疑：

用提供的数据测量出的是平均速度v还是瞬时速度v？根据近似替代原理，用什么方案、在什么情况测出的平均速度最接近瞬时速度。

3.类比点拨：

小学是如何推导圆的面积？（平均切割，无限逼近）

儿童发育期间每时每刻的身高都在生长，如何推测出某岁时的身高值？

此环节设置目的从生长角度切入，理解选择越接近参照年龄时，对应的身高值越逼近真实值。正向迁移对测瞬时速度的方案条件（极短逼近）的理解。

4.建构模型：

从“位移足够小”，构建逼近模型，渗透“位移微元”的理念。逼近模型是微元法最基本的单元——局部求近似，极限求精确，它渗透在我们日常生活的方方面面。

5.定性描述：

提出从s到s+Δs这段运动过程内，Δs越小平均速度与瞬时速度的差异也就越小，运动的描述就越精确。在此基础上，再提出若Δs足够小时，就可以认为Δs的平均速度就是s位置的瞬时速度。接着，再提出测t位置的瞬时速度的方法类似。正是这种无限分割逼近的方法，可以使原来不易测量的瞬时速度转化为可测量的平均速度，可以使原来较为复杂的过程转化为简单的过程。

6.数学语言：

v=

当Δt→0时，

Δv=|v-v|→0

v=v

此部分教学设计特别注意推迟判断，鼓励不同见解，培养创新能力、求异思维品质。

案例（二）：推导匀变速直线运动的位移公式或变力功强调微元图像法功能。

1.问题情境：

已知质点的初速度为v0，做加速度大小为a的匀变速直线运动，经时间t的运动位移是多少？

2.小组讨论：

学生展示各种推导方案。

3. 类比点拨：

能否运用图像面积法与逼近模型推导位移公式？

回忆小学如何求圆的面积？生活中的实例同步播送最新动态的新闻画面，它将一个个区域小画面集成大屏幕或地球形状类比。又如由一个个像素集成的数字油画，由千针万线的一小段直丝线积累、绣出的优美画面。年段学生分数段成绩的分布统计图等。

4.建构模型：从对事物的极小部分（微元）的分析入手，无限细分、无限累积，达到解决整体问题的方法，叫做微元法。

5.定性描述：微分构建微元，累积统计总量。无限切割微元，图像矩形块累积。

6.数学语言：

Δs=Δv·Δt

同理：

Δs1=Δv1·Δt

Δs2=Δv2·Δt

Δs3=Δv3·Δt

…

累积s=Δs1+Δs2+Δs3+…+Δsn

7.化归思维：

Δs=Δx·Δy

同理：

Δs1=Δy1·Δx

Δs2=Δy2·Δx

Δs3=Δy3·Δx

…

累積s=Δs1+Δs2+Δs3+…+Δsn

适用：变化运动过程中横纵坐标乘积具有物理意义。

8.讨论 总结：

建元过程：

微元法的思路是无限分割与逼近，取微元即对整体对象作无限分割，分割的对象可以是一段时间、一个过程，得到“时间元”“过程元”；也可以对各种物理量进行分割，得到如“元电荷”“元功”“元电流”等。 （下转第33页）（上接第29页）

检元过程：

分解为众多微小的“元过程”（如时间元Δt、长度元ΔL、面积元ΔS）需要检查每个“元过程”所遵循的规律是否相同？是否“微元”及相应的量具备“可加性”特征。

累加过程：

叠加域内“不遗漏”“不重复”的完整叠加，通过求取极限，达到向精确描述的逼近。

综上所述，在一节课时间内，让学生学习达到“综合”“运用”水平是不太现实的，构建物理思维与研究习惯的培养也不可能立竿见影、一蹴而就。因此，教师要有全局的意识，规划的能力，进阶的策略，助力学生核心素养的发展才能事半功倍。

参考文献：

[1]胡进，王家祺.每门学科都可以聚焦核心素养培育[J].基础教育论坛，2017（2）：24.

[2]刘成华.运用微元法处理“非线性”变化物理问题[J].物理通报，2011（2）：23-25.

（栏目编辑 李富强）