物理学中的“微元法”探析

摘要：本文通过对“微元法”的叙述，详细地论述了“微元法”在解决物理问题中的地位和作用，并通过典型试例具体阐述了这种解决物理问题的重要方法。

关键词：微元法；系统；物理模型

一、“微元法”的引入

在物理学中，引入许多物理量和概念，这些物理量和概念之间的关系通常通过物理规律的具体形式表现出来——即物理公式。对于物理规律、物理现象、物理量的描述和计算的方法有很多种。“微元法”可以说是一种好方法。所谓“微元法”就是选取研究对象中具有代表性的一个微小部分(或过程)进行分析研究的方法。这种方法是研究那些按一定规律连续变化的物理量所表现的物理特性的一般方法。

二、“微元法”与系统的关系

根据自然辩证法普遍联系的观点，任何事物都直接或间接地与周围的其他事物无时无刻地发生着这样或那样的联系。在物理学中，任何一个描述物理特性的物理量也处在这种联系之中，与其周围的联系着的物体构成了物理意义上的系统，如此多的物理意义上的系统大致可分为两种：均匀系统和非均匀系统。

1. 均匀系统中的“微元法”

在一个均匀系统中，描述某一特性的物理量是一个不变量，“微元法”是均匀系统中求解过程的抽象和总结。在均匀系统中，描述某一特性的物理量多表现为线性关系。如某一气体微粒在某一特定状态下均匀分布，则表现出在这一系统中的任何一点的密度是一定值，而其质量的大小与所选的体积有简单的正比关系，用数学形式表达为m=pv，组成该系统的整体可认为是无数个小微元组成，即有一个微元体积△v，就有对应微元质量△m，其关系仍为△m=△pv，所以对一个均匀系统来说，整体的特性是多个微元的集中体现，如气体的成分、化学性质、原子结构等通过这一微元完全可以表现清楚，可以说这一微元是整个均匀系统的缩影。

2. “微元法”与非均匀系统的关系

对于一个非均匀系统，其物理特性变化十分复杂，物理量的变化无规律可循，即使有一定规律变化的，计算起来也非常麻烦，只有少数的非均匀系统的物理量的变化还有一定规律可循。所以对这类物理量的计算，怎样用数学手段把其转化为简单易懂的问题是一个关键。因为非均匀系统的物理量变化一般来说，都是连续变化的过程，故可以通过“微元法”把任何一个非均匀系统都看做是无数多个类似于均匀系统的微小部分的集合，也就是无数多个微元的集合。通过这样的化分，可以用解决均匀系统那些简单易行的方法来处理非均匀系统的问题，这种无数多个微元的叠加通过数学手段完全可以求解。对于非连续性变化的物理量的叠加可以用数列求解，而对连续变化的物理量的运算则用微积分的方法，能作出准确的答案。也可以说正是这种微元的出现，为极限、微积分等理论奠定了基础，起到了启发和推动作用。

三、物理学中很多基本模型都是“微元法”的基础

在物理学的发展过程中，理想模型是很多物理课题研究的基础，这些所谓的理想模型都是忽略掉一些次要因素，抓住主要特征而建立的。如力学中的质点、电学中的点电荷、匀加速运动、匀强电场等都是“微元法”的基础，都是把整个系统看成一整体，而把其中的具有代表性的小部分(或某一小过程)拿出来研究，认为这一小部分(或某一小过程)是均匀的，它是研究整个系统的基础，只有把该微元的特性、物理性质等因素研究清楚之后，再做以扩展，附加一些相关联的次要因素，再研究整个系统的特征。

经典力学的支柱——牛顿三大定律，都是以质点为研究基础，除研究物体转动和物体各部的相对运动之外的大多数物体的动力学和静力学问题，都是把所研究的物体看成是质点。质点是从真实物体中抽象出来的，它在一定程度上是客观实际的反映，是研究质点系的基础，是质点系中的一小部分即微元。电学中的点电荷，也是整个带电体系统的一个微元，是研究整个带电体性质及其应用的基础。当然在物理学中“微元法”的应用远远不止这些模型，通常在研究物理量的变化规律时，选取的某一小部分都是微元的具体体现。

四、“微元法”在力学、电学中的应用典型试例

“微元法”能够把一个描述非均匀系统的物理量的变化过程详细地描述出来，并且是一种简便的方法。“微元法”可以根据需要化动为静、化变为不变、化不等为相等、化曲为直或化直为曲、化整体为部分等，对于角度微元，还可以用到近似分式：sinθ≈tgθ≈0，cosθ≈1，可以说它的应用体现在物理学中的各个分科之中。

1. “微元法”在力学中应用

在力学中，常会遇到运动的问题，分布不均匀的系统等的求解，在此类问题的求解方法中，“微元法”是常用的方法之一。

例1如图1所示，A物置于水平面上，A前固定一小滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻线一端固定在C点，再绕过B、D，B C段水平，当线的自由端以速度V拉时，A沿水平面向右前进，求当跨过B轮的两段绳成夹角θ时A的运动速度。

分析与求解：取时间微元△t，在这段时间内，A物运动到A"位置，A运动的距离为S=BB"。从B"点作B"E上BD，在△DEB"中，由于△t极小，可以认为DB"=DE(用“微元法”化不等为相等)。

所以，自由端运动的距离为S=BE+BB"。

因为S=BB"cosθ+BB"=BB"（cosθ+1）=S1(cosθ+1)，

所以，V=V1（cosθ+1）。

所以物体A运动的速度V1=v／（cosθ+1）。

此题应用了“时间微元法”，所谓“微”就是小的意思，即时间很短，物体产生的位移BB"很小，当然BD与B"D相差也很小，运用这种微元的近似，使问题得以解决。

2.“微元法”在电磁学中的应用

我们已经知道点电荷是一种微元模型，而点电荷只是整个带电体的一个微小部分。在电学中，电位的计算借助点电荷产生的电位的叠加，可把带电区域分成无数多个小体积微dv，其电量为ρdv（ρ为电荷连续分布的体密度），那么，该微元对场中某点贡献的元电位为du=，r是dv到该点的距离，整个带电系统对该点激发的电位为u=。当然类似的方法应用还很多，常取体积微元、面微元、线微元，还有圆环微元等。

例2如图2，在与均匀恒定磁场B垂直的平面内有一长为L的直导线ab，设导线绕a点以角速度ω转动，转轴与B平行，求ab上产生的电动势。

分析与求解：本题可以用法拉第电磁感应定律求解，但也可以用微元法求解，即用Eab=（V×B）·dl。

解：对ab上取长度微元dl，其运动的速度v与B垂直，且V×B与dl同向，则（V×B）·dl=VBdl=ωBldl（利用微元法化不等为相等）。

此题利用长度微元d1，把dl两端的速度ωl与ω（1+dl）化不等为相等，化解了速度连续随L变大的矛盾，使问题迎刃而解。

当然，“微元法”在物理学中的应用远不止这些，如速度的定义、加速度的引入、电场强度的求法等，都是应用了“微元法”，才使这些物理难题得以解决，使复杂的问题得以简化，推动了物理学的向前发展。相信随着科技的进步，“微元法”在物理学及其他科学技术领域的应用会更加广泛。

参考文献：

[1]漆安慎,杜婵英.力学基础[M].北京:高

等教育出版社,1997.

[2]梁灿彬,秦光戎,梁竹建.电磁学[M].北

京:高等教育出版社,1980.

（平顶山市第二高级中学）

注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”