浅谈特殊值法解数学客观题

2022-04-05 09:59:25 | 浏览次数:

古人云:授人以鱼,只供一饭;授人以渔,则终生受用无穷。学知识,更要学方法。在这里笔者谈一谈特殊值法在解数学客观题时的妙用。

所谓特殊值法,就是在某一范围内取一个特殊量,将繁杂的问题简单化,这对于解一些不需整个解题思维过程的客观题,可以收到事半功倍的效果。在一般性的问题中,通过特殊法往往能获得解题的重要信息,发现解决问题的有效途径。特殊值法解题的理论依据是:若对一般情形成立,则对特殊情形也成立;若某种特殊情形成立,则一般情形不一定成立;若对某种特殊情形不成立,则对一般情形也不成立。其关键在于如何寻求特殊值。下面举例说明

一、取特殊数值

例1在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a、b、c成等差数列,则/1+=( )

解析:取特殊数值:不妨令a=3,b=4,c=5,则△ABC为直角三角形,=,=0,从而所求的值为。

例2 若a>b>1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg(),则()

(A)R< P< Q (B)P< Q< R

(C)Q< P< R (D)P< R< Q

解析:不妨令a=100,b=10,则此时P=,Q==lg,R= lg55=lg, 比较可知选B。

二、 取特殊函数

例3已知f(x)是偶函数,xR,当x>0时,f(x)是增函数, 若x1<0,x2>0,且|x1|<|x2|,则()

(A)f(-x1)>f(-x2)(B)f(-x1)

(C)-f(x1)>-f(x2)(D)-f(x1)>f(-x2)

解析:因为“f(x)是偶函数,xR,当x>0时,f(x)是增函数”,所以可以取特殊函数,令f(x)=x2,勾勒出草图,立即可得答案为B。

例4若f(x)、g(x)分别为[-2,2]上的奇函数和偶函数,则函数y=f(x)g(x)的图像一定关于( )对称。

(A) 原点(B)y轴(C)x轴(D)直线y=x

解析:令f(x)=x,g(x) =x2,立即可得结果A。

三、取特殊图形

例5 从P点引出三条两两成60度的射线PA、PB、PC,且PA=6,则A到面PBC的距离是()

(A)(B)3(C)(D)

解析:取棱长为6的正四面体P-ABC,此时正四面体的高就等于A到面PBC距离,不难算出是,故选A。

例6 平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为30,则四面体AB1CD1的体积为()

(A)15(B)7.5(C)10(D)6

解析:取特殊平行六面体为正方体,则四面体AB1CD1的体积是正方体体积的三分之一,口算即得结果为C。

注:取正棱柱为特殊棱柱,取正棱锥为特殊棱锥是解立体几何选择题时常用的简便方法。

四、取特殊位置

例7 设P是棱长相等的四面体A-BCD内任意一点,且P到各个面的距离之和是一个定值,则这个定值等于()

(A)四面体的棱长 (B)四面体的斜高

(C)四面体的高 (D) 四面体两对棱间的距离

解法一:直接法——用体积转化法求解。

所以SACB=SBCD=SACD=SABD

VA-BCD=VP-ABC+VP-ACD+VP-BCD+VP-ABD

=S△ABCh1+S△ACDh2+S△CBDh3+S△ABDh4

=S△ABC(h1+h2+h3+h4)

从而有h1+h2+h3+h4=h,故选C。

解法二:取特殊位置,将P点置于四面体的某一个顶点处,口算即得结果为C。

通过这几个例题,我们不难发现用特殊值法解客观题的一些规律:

(1)特殊值法是选取满足题干的特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊图形等代替一般,并由此运算出结果,从而达到快速准确、简明扼要地筛选出“真支”的解题效果。

(2)特殊值法比较适用于结论具有一般性的题目,尤其是适用于“对某一范围或满足某种条件的所有对象,某种属性或某种关系恒成立”这样一类以全称形式出现的命题。

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