利用Venn图巧记概率的运算公式

摘 要 概率的运算公式比较多，难以记住。本文介绍利用Venn图，来记住一些常用的概率的运算公式，其方法简单直观，易于掌握。

关键词 概率 Venn图 概率的运算公式

中图分类号：O211 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2019.02.016

Use Venn Diagram to Remember the Probability Formula

XIA Tian

（School of Mathematics and Statistics， Guizhou University of Finance and Economics， Guiyang， Guizhou 550025）

Abstract There are many formulas for calculating probability， which is hard to remember. In this paper， we use Venn diagram to remember some common probability formulas， which is simple， intuitive and easy to master.

Keywords probability； Venn diagram； the operation formulas of probability.

概率的运算公式是概率论与数理统计课程中的最基本的公式，它贯穿于整个概率论与数理统计课程的教学中，其公式比较多，难以记住。本文介绍如何利用Venn图，来巧记概率的运算公式的方法。

1 Venn图

Venn图就是用一条封闭曲线（通常是园或椭圆）直观地表示集合及其关系的图形，它能直观地表示集合之间的关系。Venn图是由十九世纪英国的数学家Wenn发明的。Venn图可以直观地表达集合之间的运算，比如：集合的并，交，差，补均可用Venn图表达出来。

在概率论中，样本空间S的子集A称为随机事件A，简称为事件。特别地，空集与样本空间S分别称为不可能事件与必然事件。由于随机事件是样本空间的子集，从而事件之间的关系与运算和集合之间的关系与运算是完全类似的。

事件与事件之间的关系可以概述如下（见文献[1，2，3，4]）：

若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含了A，记作或。

称事件“A与B中至少有一个发生”为A和B的并事件。记作。

称“A与B同时发生”这一事件为A和B的交事件。记作或。

称“A发生B不发生”这一事件为A与B的差事件，记作。

称“”为A的对立事件或称为A的逆事件，记作。

从集合的观点看，事件就是集合，事件与事件之间的关系就是集合与集合之间的关系，因此事件与事件之间的关系可用Venn图表示。

图1给出了事件和它的对立事件的Venn图，它们的并就为样本空间。图2给出了事件的Venn图，图3和图4分别给出了两个事件的并和两个事件的交的Venn图，图5给出了三个事件的并的Venn图。

2 Venn图在记忆概率的运算公式中的妙用

下面介绍如何利用Venn图来记忆事件的概率的一些运算公式。首先我们回顾一下概率的描述性定义。

定义：在一次试验中事件A发生的可能性大小的量度称为事件A的概率，记为），规定 （见文献[1]）。

既然事件的概率是量度事件发生的可能性的大小，它就是一个数；众所周知，区域的面积也是一个数；此外，事件的概率与区域的面积有一些共同之处，比如：它们均具有下面的一些性质：

（1）非负性：即对任意的事件或任意的区域，均有或。

（2）可加性：即对于任意两个事件或任意的两块区域，若，则有

或

因此，我们不妨将视为的面积，并且规定，。那么由Venn图就可记住一些常用的概率运算公式。

综上可见：对于一些常见的概率运算公式，都可以画Venn图来记住其公式，如果同学们将公式忘了，那么通过画Venn图就可以轻松地写出公式。关于Venn图，同学们都很熟悉，这种方法，简单明了，易于掌握，本人在教学过程中，介绍过这种方法，同学们反映效果很好。

基金项目：这篇文章受到国家自然科学基金（11361013）的資助

参考文献

[1] 吴传生.经济数学-概率论与数理统计（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2] 梁之舜，邓集贤，杨维权等人.概率论及数理统计（上册，第二版）[M].北京：高等教育出版社，1988.

[3] 苏均和.概率论与数理统计（第二版）[M].上海人民出版社，2005.

[4] 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008.