“化整为零”在概率论教学中的应用

化整为零思想就是将一个事物作为一个整体，每个整体都是由若干个不同且不可分割的部分构成的，学生要想对这个整体进行了解和探索，就要将整体进行切割，细致了解不同部分的具体情况，从而了解整体问题，由此可见，“化整为零”在概率论教学中的应用，就是将概率论问题的整体进行细化，从多个个体角度出发解决问题，以多个小问题促进概率论问题的解决。本文结合实际教学经验，分别从引入概率定义、突击问题本质、解决实际问题的角度出发，深入探究“化整为零”在概率论教学中的应用这一课题。

“化整为零”是一种重要的数学思想，也是数学界学者们探究数学问题的运用方法，在笛卡尔的《方法论》中提出“将复杂的问题看做一个整体，尽可能多的将整体问题分化为若干个小问题，逐个击破，从而解决复杂问题”，这句话既是“化整为零”思想在数学问题探究中应用的证明，又直接表明了“化整为零”在数学问题中的实际应用技巧与方法。概率论是数学学科的重要组成部分，也是经典的数学思想问题，学生在学习概率论时常常会遇到一些难以分析的问题，教师在概率论的教学过程中引进“化整为零”思想，首先可以结合具体数学课例引入概率定义;然后要认真观察重点突击问题本质，逐个突破知识点并进一步探究问题本质，提升学生的数学逻辑思维;最后要着重培养学生解决实际问题的能力。

1 化整为零第一步，结合具体数学课例引入概率定义

数学教师要始终给学生灌输“发现问题、探究问题、解决问题”的良好数学学习思维，引导学生通过“观察—探究—解决”等一系列数学学习活动提升学生的数学逻辑思维，促使学生找到科学的数学学习方法。在概率论的教学中，数学教师要引进“化整为零”思想，第一步就是要结合具体的概率论知识点与数学课例，通过讲解案例的方法引入概率定义，加深学生对概率论知识点的理解，提高课堂教学效率。教师引进课例可以通过两种方法，第一种方法是建设课堂教学情境，将概率论知识点的应用场景无限贴合学生的日常生活，从而引进概率论知识点，让学生对概率论知识的应用产生直观感受，提升学生对概率论知识的接受程度和理解程度;第二种方法就是利用多个概率论事例进行而对比，引发学生的思想，让学生积极主动的探究不同案例之间的联系，最终引出相关知识点，避免学生产生知识点混淆的情况。

以《全概率公式》课堂教学为例，数学教师可以根据全概率知识点的教学目标“了解并掌握全概率公式的适用范围、基本步骤及其具体运用”及全概率知识点的特性设计教学场景“在我们的日常生活中，很多人都有购买彩票或者是刮刮乐的经历，那么我们知道无论是先购买彩票还是后购买彩票，其实每个人所购买彩票的中奖概率均等的，那么请同学们思考这是为什么？”、“那么刮刮乐的中奖概率也是如此吗？他们有什么不同？哪里不同？”，通过这种方式让学生产生熟悉感，激发学生的学习兴趣与探究热情，引导学生对“彩票与刮刮乐的中奖概率”进行深入探究并思考，促使学生在“彩票”的问题中得出“设实验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，...，Bn为S的一个划分，且P（Bi）>0（i=1，2，...，n），则P（A）=P（A|B1）*P（B1）+P（A|B2）*P（B2）+...+P（A|Bn）*P（Bn）”的全概率公式定义。这种结合具体数学课例引入概率定义教学方法，不仅可以帮助学生明确全概率知识点，加深学生对全概率知识点的理解，还能直接告诉学生全概率公式的应用基础，提高学生对全概率理论的应用能力。

2 化整为零第二步，认真观察重点突击问题本质

2.1 化繁为简，逐个突破知识点

数学教师在概率论的教学中，要重点培养学生“探究问题”的能力，引导学生形成良好的数学思维与逻辑思维能力，将复杂的问题简单化，分解复杂问题，优先解决分散的小问题，从而解决复杂问题，提高解决问题的效率。教师在教学过程中可以有计划、有目的的引导学生逐渐树立“化整为零”的数学思维，让学生将概率论问题中的小问题单独抽取并解决，降低概率论问题的难度，树立概率论问题的解决思路与知识点脉络。

以《全概率公式》的实际教学为例，教师要明确运用“化整为零”的第二步，引导学生认真观察全概率公式中的问题，将复杂问题中的小知识点分别提炼出来，如：随机试验A的样本空间为Ω，若B1、B2、B3、···Bn···为A的一组事件，并且分别满足以下条件“具备完全性、具备非负性、具备互不相容性”，则对于A的任意事件C，有P（C）=P（B）P（C|B）。在这组课题中，“P（C）=P（B）P（C|B）”就是我们课本教材中的P（B）=P（A）P（B|A），就是正在学习的全概率公式，教师引导学生将全概率公式设立为样本Ω，将Ω划分为B1、B2、B3、···Bn···，就是将复杂事件A划分成若干个小时间，然后在通过概率的加法公式给出结果，优先解决这些小问题的计算，从而解决复杂问题。

2.2 探究问题本质，提升数学逻辑思维

數学教师将“化整为零”思想引进概率论教学中，在引导学生探究问题本质时，除了要帮助学生树立“逐个击破”的思维，还要带领学生探析概率论的问题本质，培养学生的数学逻辑思维，从而提升学生的数学综合能力，提高课堂效率。

以全概率公式以及分布函数的课堂教学为例，在全概率定义中，很多知识点的形式接复杂，但是基本是较为简单，教师在教学的过程中可以引导学生认真观察其复杂的表面形式，如：“设T是一个随机变量，称F（t）=P{T≤t}”，让学生通过表面形式分析问题的本质，从而找到更好的问题解决方法，比如：在离散型的变量计算中，教师可以引导学生在计算随机变量的分布函数时引进“化整为零”数学思维，寻找能够满足特定条件的pij，先求和，然后在给出分布函数的表达公式。

3 化整为零第三步，培养学生解决实际问题的能力

概率论不仅仅是数学领域的重要问题，也是我们日常生活中的常见问题，数学教师可以在概率论的课堂教学中引进日常工作、生活中的一些小问题，让学生通过解决实际生活问题的方式练习概率论的具体应用方法，提升学生对概率论知识点的掌握与理解，循序渐进的培养学生运用概率论知识解决实际问题的能力。

在我们的日常生活中，有很多场景应用到了概率论问题，如上述提到的彩票中奖问题、超市排队结账速度问题、医院体检问题，等等。以《贝叶斯公式及其应用》的课堂教学为例，教师可以根据贝叶斯公式的特性及课堂教学目标引进生活实际问题“血液化验问题”，“在学校某项血液化验中，带病菌的学生检出阳性（概率为0.95），但会存在1%的误诊概率”，设定这种病菌的发病率是0.5%，那么问在已知体检结果为阳性的情况下，此学生的患病概率是多少？在这个生活问题中，结果是“阳性属性病人”，而能够被确诊为阳性有两种可能，一种是确实患病的学生，另一种是被误诊的健康学生，教师要让学生明确这两种可能，引发学生进一步思考“带菌学生的发生概率是P（带菌︱阳性），误诊病人的发生概率是P（不带菌︱阳性）”，进一步确定B={阳性}，A1={不带菌}、A2={带菌}，由此让学生根据这个思路对此问题进行解决。

这种生活中的小问题能够在很大程度上激发学生的学习兴趣，诱使学生积极主动的与教师保持思维同步，按照教师设定的路线解决生活问题，加深对概率论定义、使用方法、基本理论等知识点的理解。

4 结语

总而言之，概率论问题是数学学科的重要问题，也是学生数学学习生涯中的重点与难点，教师要结合实际情况，根据概率论中不同知识点的内容适当引进“化整为零”思想，引导学生先了解问题整体，再将整体分成若干个小重点，逐一解决，从而解决整体问题，提高数学学习效率。教师在概率论教学过程中引进“化整为零”数学思想可以有效改善概率论知识点的枯燥感，提升学生的课堂学习兴趣，激发学生的逻辑思维能力，促进学生对概率论知识的掌握。

（作者单位：信阳农林学院）