新课程下关于常用逻辑用语教学的几点思考

1 中学学习常用逻辑用语的必要性和合理性

1.1 必要性

逻辑（logic）是在形象思维和直觉顿悟思维基础上对客观世界的进一步的抽象，所谓抽象是认识客观世界时舍弃个别的、非本质的属性，抽出共同的、本质的属性的过程，是形成概念的必要手段.该词最早被清末的严复翻译成汉语.逻辑是人的一种抽象思维，是人通过概念、判断、推理、论证来理解和区分客观世界的思维过程.逻辑成为一门科学，那是从亚里士多德开始的.

逻辑学作为人们进行思维所必须运用的思维工具，和哲学、数学、物理等很多学科都息息相关， 它对提高人们的思维能力具有很大帮助，学习逻辑学可以使人们由自发地上升为自觉地运用逻辑形式进行思维活动，这对防止和纠正错误具有很重要的意义.目前，大部分高校都开设了逻辑学课程，这些专业知识在大学会系统地学到，而在中学阶段的学习就会显得零散浅显，学生利用逻辑学知识判断处理一些问题也是有难度的.但是了解常用的逻辑用语，对生活中简单的事情进行基本的推理和判断，还是要具备的，也是对今后学习的一种知识预设.在大规模的课程改革后，常用逻辑用语内容不仅被完整保留了下来，还新增了全称量词和存在量词，并且作为现行高考的必考知识，由此也可见常用逻辑用语内容的重要性.

1.2 合理性

常用逻辑用语放在选修模块里，分别在1-1的第一章和2-1的第一章，是很合理的.《课标》一改传统的“连续性，一步到位”的教学模式，采取“分段设计，分层推进”的教学模式.模块化的教材设计旨在实现知识的螺旋上升，层级构建，在这里就是一个明显的体现.

学生在必修1中已经学习过集合知识，对集合的交并补思想有了一定的认识，在选修模块里学习常用逻辑用语知识时就不会感觉太陌生.对于充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件，既不充分也不必要条件的理解除了利用定义，也可以用集合之间的关系来审视，这样既加深了学生对充分性必要性概念的理解，又巩固了集合之间的包含关系；对于简单的逻辑联接词“且”、“或”、“非”的教学，教材的阅读与思考中把其与集合的“交”、“并”、“补”进行了很好的比较，让学生很容易发现命题和集合之间的对应关系，以及在这样的对应下，逻辑联接词和集合运算的规定在形式上的一致性，即命题的“且”、“或”、“非”恰好分别对应集合的“交”、“并”、“补”.这样，学生从集合的角度进一步认识有关逻辑联接词，从而能够很深刻地理解这种运算的规定以及对于p∧q、p∨q、 p复合命题真假性规定的合理性.

教材介绍过四种命题及其关系后，在p.7给出了例4证明：若x2+y2=0，则x=y=0.在这里，例题的设计旨在巩固学生对逆否命题的理解，让学生明白有时直接证明不好证，可以通过证明逆否命题成立来证明原命题成立，由此也渗透了反证法的解题思想.紧接着，在选修1-2和2-2中，推理与证明一章给出了合情推理和演绎推理两种典型的推理方式，以及直接证明和间接证明两种经典的逻辑证明方法.这里，间接证明中反证法概念正式提出时，学生已经很熟悉了.教师正好可以进一步深化，引导学生和例4的证明方法进行比较，指出两者的区别和联系.反证法和证明逆否命题思想一致，只是，反证法中，假设结论不成立推出矛盾的因素范围更广.这里又一次体现了知识的螺旋上升.

由此可见，三个层次，逐级上升，又互相渗透，凸显了新课程的基础性和系统性，符合建构主义理论和学生的认知水平发展.学习是一个循环往复的过程，这样的课程编排由浅入深，不同知识之间相互交融，又由深化浅，纵横交错，知识的联系得到最大的体现，也让学生的学习层叠起伏，不断学有所悟，感受学习数学的乐趣.通过这样两次螺旋上升，经过提出问题——初步判断——合理推理——科学证明——实践检验一系列环节，我们在遇到问题时就可以利用所学的知识初步解决，也体现了数学的应用价值和人文价值.

就常用逻辑用语这部分内容而言，不必对学生要求过高，在高考中这块内容呈现方式大多是选择题和填空题，而且都是和其它知识结合起来考查.作为生活中的逻辑，可以结合生活实例引起学生的兴趣，让他们感受到数学是一种方法论，也是一种文化.

2 如何驾驭和把握教材

《课标》指出，正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质.无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维.在本模块中，学生将在义务教育阶段的基础上，学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流.常用逻辑用语由“命题及其关系”、“简单的逻辑联结词”和“全称量词与存在量词”三部分组成.

2.1 内容与要求

《课标》规定常用逻辑用语（约8课时）

（1）命题及其关系

①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题.

②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系.

（2）简单的逻辑联结词

通过数学实例，了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.

（3）全称量词与存在量词

①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.

②能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

按照规定的课时，本章的教学时间是足够的.本章内容的重点是命题及其关系，充分条件、必要条件、充要条件的意义，逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，全称量词与存在量词. 本章的主要难点是理解必要条件的意义，能正确地对含有一个量词的全称命题或特称命题进行否定.

2.2 教学中应注意的地方

2.2.1 通过大量数学实例，加强对概念和结论的理解

新课程最大的特色之一就是把数学建立在现实生活的基础之上，这一点较之课改前体现的尤为明显.大量知识的学习都以生活实例为背景，在数学实例的基础上，思考、探究、分析、发现，最后总结概括出相关概念和知识是我们学习研究问题常用的方法.本章章首图人脑给我们以逻辑和思维的直观感受；在引入命题概念时，教材以思考的形式给出了六个语句，让学生观察，归纳；在四种命题及其相互关系的学习中，课本给出具体的四个语句让学生感知，从感性认识到理性认识；在四种命题真假性的关系上，课本以探究的形式给出问题，让学生自己讨论，寻求结果；在逻辑联结词的的教学中，为了加深学生对“且”和“或”及其真假的理解，教材以旁白的形式分别给出了物理中的并联电路和串联电路；接着，教科书又安排了丰富的实例，使学生了解生活和数学中经常使用的两类量词（全称量词和存在量词），并通过例子说明如何对含有一个量词的命题进行正确地否定.总之，教材以丰富的实例，缤纷的形式，生动的引入，为学生学习新知提供了最佳的平台.作为一线的教师，应该充分体会这些思想、理念和编者的初衷，以全新的教学风貌把知识深入简出地展现给学生.

值得注意的是，本章内容与学生日常生活中的某些逻辑表述、形式逻辑中的表述虽有一定关联，但又有一定差别.因此数学中如何正确地选择合适的例子来理解和运用这些常用逻辑用语，是本章的关键，也是较难处理的.教师在教学中切勿在复杂性上做文章，弄不好还会本末倒置.例如，对“命题”概念的阐述，教材就是在总结6个纯数学例子的基础上概括得出的，学生一目了然，而对于语句“2难道不是偶数？”这样的例子就不宜举.笔者认为，准确来说，按照现行定义，它不属于陈述句，故不是命题.但是有的资料上把它当作真命题，说法不一.而且，考试中也没有涉及过这样的问题，所以没必要拿这样模棱两可的例子来做示例.对于四种命题及其关系，教科书也是通过对一个简洁明了的命题“若f（x）是正弦函数，则f（x）是周期函数”的条件与结论的互换及否定等具体例子的讨论，达到对四种命题及其关系的认识.如果在一开始就让学生观察这样的命题“y=sin x是周期函数”，就不一定能达到预期的效果.因为这个命题的条件和结论不明显，要先改写成若p则q的形式.而讲四种命题及其关系时要突出的就是条件和结论.这样的问题可以放在练习或者是巩固提高环节来解决.由此可见，教师在举例时，要目标明确，确保概念教学的严谨性，尤其是引入时不能举过难的，甚至有歧义的例子.

2.2.2 对于容易出现的错误要注意引导

（1）命题真假的判断

简单命题真假的判断很容易，对于复合命题真假的判断往往容易出错.例如大家都知道，若命题p，命题q都是简单命题，则p∧q全真才真，其余都是假；p∨q全假才假，其余都是真.根据这个结论要判断复合命题的真假，只要判断p、q的真假就可以了.但是教师要引导学生在使用的时候首先要辨清命题是不是复合命题，否则会出现逻辑错误.

案例1 指出下面命题的构成形式，及构成它的简单命题，并判断命题的真假.

命题 不等式x2-x-2>0的解集为{x|x>2或x<-1}.在课堂教学中大部分学生都能一眼看出该命题是真命题.可是题目还要指出命题的构成形式，于是不少学生把它拆成了两部分p：不等式x2-x-2>0的解集为{x|x>2}，q：不等式x2-x-2>0的解集为{x|x<-1}.这时有些学生有了疑问： p，q都是假命题，怎么原命题是真命题啊？这不是矛盾吗？ 这时教师应该以：命题p，q和原命题有什么关系？ 难道是教材中的结论错了吗？原命题是简单命题还是复合命题？等问题层层推进，使学生醒悟过来.事实上，命题：不等式x2-x-2>0的解集为{x|x>2或x<-1}是一个简单命题，而不是复合命题，刚才之所以遇到矛盾，就是因为把它当成了p∨q，利用p，q都是假命题，错误地得到原命题也是假命题.准确地说，原命题是不能够拆成两个简单命题的，当然，题目的表述也不够准确，造成了学生的误解.题目本意是想让学生先把命题改写成两个简单命题的复合，然后利用简单命题p、q的真假来判断复合命题的真假.可是却辞不达意，成了一个错题.但是通过这样的示错教学，可以让学生更深刻地明白了：在利用课本上的结论判断复合命题真假时，一定要先确定是不是复合命题，如果是简单命题，可以直接判断.

还有的命题直接判断不好做，可以数形结合，通过图形直观感知，辅助判断，避免出错.

案例2 写出命题p：若x≠2且y≠6，则x+y≠8的否命题并判断真假.

原命题的否命题，是把原命题的条件结论同时否定.该命题的否命题为：若x=2或y=6，则x+y=8，这个命题的真假性如何来判断呢？考虑到原命题和逆否命题同真假，学生们在学习中会思考出，我们直接找它的逆否命题来判断.它的逆否命题也即原命题的逆命题为：若x+y≠8，则x≠2且y≠6，单这个命题似乎也不好判断，与其这样，不如直接从否命题入手.否命题的意思是x=2和y=6至少有一个成立时，能否得到x+y=8成立？不妨取x=2且y=5，它满足x=2或y=6，但x+y≠8，因此否命题是假命题.这样的特例方法有的学生可能不是很明白，建议老师再结合图形来观察：如上图中粗体区域表示的是x=2或y=6，我们发现两条直线上除了（2，6）点之外，其它点的坐标都不满足x+y=8，所以否命题是假命题.

（2）复合命题的写法

把给定的两个简单命题写成复合命题，看似很简单，在实际改写时，可能多一两个字或少一两个字都会影响到结果的正确与否.我们一定要严格遵循定义.

案例3 命题p：能被5整除的整数末尾数字一定是0，命题q：能被5整除的整数末尾数字一定是5，写出p∨q.

在教学中有不少学生写的是p∨q：能被5整除的整数末尾数字一定是0或5.乍一看，好像很有道理，细细来分析，不难发现其中的问题.命题p，命题q都是假命题，根据复合命题真假性的结论，全假才假，p∨q应该是假命题.得出的复合命题却是真命题.问题出在什么地方呢？按理说改写的命题是假命题才对啊.若p假q假，则p∨q假，前提是这里要将p、q完整表述出来，建议老师教学中书写为：能被5整除的整数末尾数字一定是0或能被5整除的整数末尾数字一定是5.很容易得到该命题是假命题.如果把它写得更简洁一些：能被5整除的整数末尾数字一定是0或一定是5.这也是可以的，根据这样的写法，学生们也能够得到结论是假命题.可是如果继续简洁下去，意思就发生变化了，就变成了真命题.原因就在于这里“或”的作用已经发生变化了.作为逻辑联结词“且”、“或”和作为一般连词“且”、“或”是有区别的，作为逻辑联结词“且”、“或”是用来联结两个命题或语句，而作为连词“且”、“或”是用来联结两个对象.

这样的内容老师应该着重对学生们强调：以后为了避免在写复合命题时出错，每一部分都要完整，准确地表述，正确的写法是：能被5整除的整数末尾数字一定是0或能被5整除的整数末尾数字一定是5.

3 对教材的进一步完善

常用逻辑用语一章知识的安排符合学生的认知水平，习题的设置难易适中，但是有个别习题和例题的表述不够准确，值得商榷.教材p.12练习第1题：下列形如“若p，则q”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p是q的什么条件？（2）若数列{an}的通项公式是an=n+c（c是常数），则数列{an}是公差等于1的等差数列. 因为an+1-an=[（n+1）+c]-[n+c]=1，所以该命题是真命题.它的逆命题：若数列{an}是公差等于1的等差数列，则数列{an}的通项公式是an=n+c（c是常数），这个语句准确地说，不是命题，因为没有办法判断真假.原因就在于常数c没有给定.这里仅给出c是常数，表述很不严谨，既然c是给定的常数，那么通项公式就是确定的，可具体通项公式是什么呢？我们又无法确定，所以结论无法判断，从而不能判断真假. 但是题目却默认为是命题，并要求判断真假.这个题目我们如果稍加改动就没有问题了，不妨把c换成一个具体的数，比如换成2，那么原命题：若数列{an}的通项公式是an=n+1，则数列{an}是公差等于1的等差数列，这是真命题.逆命题：若数列{an}是公差等于1的等差数列，则数列{an}的通项公式是an=n+1，这是假命题.这个题目也启发了我们在判断真假的时候，首先要明确语句是不是命题，课本定义同时满足两个条件：①陈述句，②可以判断真假的语句才是命题，尤其是第二个条件很容易被忽视，要格外引起重视.

同样的道理，教材p.16例3（3）表述也不够严谨.判断下列命题的真假：周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.这个语句其实也不是命题，因为我们也无法判断真假.周长相等的两个三角形可能全等也可能不全等，同样，面积相等的两个三角形可能全等也可能不全等.即p：周长相等的两个三角形全等和q：面积相等的两个三角形全等都不是命题，从而原语句也不是命题.课本却指出p、q、p∨q均是假命题.如果我们把它改成：周长相等的两个三角形一定全等或面积相等的两个三角形一定全等，就可以按照课本的分析得到其为假命题了.

数学是一门严谨的学科，我们在每一个细节都要力求准确，对于教材中个别有歧义的地方，在教学中要和学生仔细推敲，避免学生对知识产生疑惑.但是我们也不应该因此否定新教材，新课程的前景是美好的，它所带来的课程结构体系的巨大变革将会对高中数学教育产生巨大的影响，新课改所倡导的新理念值得我们深思并践行.

学习数学离不开常用逻辑用语.在逻辑的教学中，作为教育者，我们一定要谨慎，多切磋，多斟酌，逻辑用语也可以说是语言类的数学，本身就有很多不定的因素，但是作为数学的一个分支，它又具有确定性和严谨性.在教学中要严格遵循概念，多从不同角度思考问题，同时应多注意培养、提高学生转换命题与构造命题的能力，而不能对新教材的认识犯主观主义错误.新的课程改革像一场演出刚刚拉开帷幕，后面的节目将会很精彩.而精彩的表演需要靠我们一线教师细细咀嚼其中的韵味，不断发掘课改深层次的内涵，并积极调动学生、师生共同参与，以全新的视角认识课程内容.课改在宏观上为我们指明了高中教育前进的方向，微观上只有靠教师们在教学中不断感悟，不断探索，找到一条最合理最科学的教学途径.