力学\电学中的动态变化问题

描述物理现象的各物理量之间常存在着相互依赖、相互制约的关系,当其中某个物理量(或物理条件)发生变化时,其它物理量也将按照物理规律发生变化,这样的问题通常称之为动态变化问题.突破该类问题的关键在于首先区分出变量和不变量,挖掘变量间的相互依赖、相互制约关系;其次通过统筹分析,依据物理规律判断和预测变量的变化趋势,进而找出解题思路.

一、 力学中的动态变化问题

1. 物体平衡中的动态变化

例1 如图1所示,一重量为G的均匀球体放在光滑斜面上,斜面的倾角为α,在斜面上用铰链固定一光滑挡板,使小球处于静止状态.试分析挡板由图示位置缓慢放置成水平位置的过程中,挡板与斜面的夹角β为多大时,挡板所受压力最小?

解析 以小球为研究对象,在挡板缓慢放置成水平的过程中,可以认为小球始终处于平衡状态.斜面对小球的弹力FN1和挡板对小球的弹力FN2的合力F始终等于小球重力G.FN1、FN2和F构成如图1所示的平行四边形,在挡板缓慢放置成水平的过程中F的大小和方向不变,FN1的方向不变,FN2的变化情况如图1所示.可以看出挡板缓慢放置成水平的过程中,FN2先减小后增大;FN1一直减小.当FN2垂直FN1时,FN2最小,此时β=90°.

点评 对于处理该类问题,常使用矢量图解法,即将某一力根据其作用效果进行分解,构建几何示意图,将各力之间的相互依赖、制约关系直观、形象地展现出来,达到简洁迅速的判断目的.

2. 力和运动中的动态变化

例2 如图2所示,小球由高空自由落下,落在一竖直放置的轻质弹簧上,球在a点与弹簧接触,在b点弹簧被压缩至最短,在球从a→b的过程中(不计空气阻力)下列说法正确的是()

A. 小球的速度一直减少

B. 小球的速度先增加后减小

C. 小球的加速度先减后增

D. 小球的加速度一直增加

解析 如图3所示,小球从a运动到b的过程中,小球受重力mg和弹力F作用.弹力F开始由0开始增大,合力F=mg-F=ma,开始时a的大小减小、方向向下,小球做加速运动;当弹簧弹力增大至F=mg时,a=0,小球的速度达到最大;由于小球继续向下运动,此时弹力F>mg且增大,合力F=F-mg=ma,a的大小增大、方向向上,小球做减速运动,直至速度为零,弹簧压缩至最短.

答案 B、C

点评 对于运动和力的动态问题一般采用逐段分析法及临界分析法.其基本思路为:首先进行受力分析和运动过程分析,挖掘运动过程中的临界状态及临界条件,将运动过程划分为不同的阶段;其次要明确不同阶段的变化量与不变量;最后结合物理规律根据物理量的变化先后进行逻辑推理或计算,从而得出结论.

3. 机车启动中的动态变化

例3 汽车发动机的额定功率为60 kW,汽车质量为5.0×103 kg,汽车在水平路面行驶时,受到的阻力大小是车重的0.1倍,试求:

(1) 汽车保持额定功率从静止出发后能达到的最大速度是多少?

(2) 若汽车从静止开始,以0.5 m/s2的加速度做匀加速运动,则匀加速运动阶段维持时间为多长?

解析 汽车以恒定的加速度起动时,开始牵引力F不变,当其速度增大至一定值v时,其功率达到额定功率P,此时有-Ff =ma,以后若再使其速度增加,由于汽车的功率不变,汽车的牵引力将减小,因而加速度也减小,直至加速度a=0,汽车速度最大,以后将做匀速直线运动,匀速直线运动的速度vm=,反映此物理过程的方框图如下:

解析 (1) 由此可得,汽车速度达到最大时a=0F-Ff=0,

有Ff=kmg,P=F•vm,

得vm==12 m/s.

(2) 由于汽车的速度达到最大之前已经历了两个过程:匀加速和变加速运动,匀加速运动过程能维持到汽车功率增加到P额的时刻,设匀加速阶段能达到最大速度为v,则满足:

v=at,P额=Fv,F-kmg=ma,得t=16 s.

点评 汽车的起动分为两类:① 以恒定功率起动;② 以恒定牵引力起动.其解题关键在于逐步分析清楚v、a、F、P之间的相互制约关系,并把握由起动到最后匀速运动的临界条件F=Ff,即汽车达到最大速度的条件.

4. 振动和波中的动态变化

例4 如图4所示,一列简谐横波的波源在图中坐标原点O处,经过0.4 s,振动从O处向右传播20 cm,P点到O点的距离是70 cm.问:

(1) P点振动时起振方向如何?

(2) 该波从原点向右传播开始计时,经过多长时间质点P第一次到达波峰?

解析 (1) 根据带动原理,质点P的起振方向与20 cm处的质点起振方向相同,该质点起振方向向下,波传到P点,P点的振动方向也一定向下.

(2) 由题意可知,波的传播速度为v= cm/s=

50 cm/s,波从波源传到P点,所需时间t传= s=1.4 s.此时P点振动方向向下,P点从平衡位置到第一次形成波峰的时间t振= T=0.3 s,所以从波源开始振动到P点第一次形成波峰的时间:t=t传+t振=1.7 s.

点评 波在传播时,各个质点都在振动,波形是不断变化的.沿波的传播方向上后一个质点总比前一个质点落后一段时间,质点依次被带动.不能套用现成波形进行直接延伸,画出后面未成形的波形(如图5所示).

二、 电学中的动态变化问题

1. 电容器中的动态变化

例5 如图6所示,平行板电容器的两个极板为A、B,其中B板接地,A板带有电荷量+Q,板间电场有一固定点P.若将B板固定,A板下移一些,或者将A板固定B板上移一些,在这两种情况下,以下说法正确的是()

A. A板下移时,P点的电场强度不变,P点的电势不变

B. A板下移时,P点的电场强度不变,P点的电势升高

C. B板上移时,P点的电场强度不变,P点的电势降低

D. B板上移时,P点的电场强度减小,P点的电势降低

解析 该问题属于电容器充电后两极板切断与电源的连接,所以应满足:极板带电量Q是常量,而C∝,U∝,E∝.设电容器两极板的间距为d,P点与B板的间距为d1.无论A板下移或B板上移,两极板间距为d减小,而电场强度E与d的变化无关,所以电场强度E的大小和方向均保持不变.

因为P点位置固定不动,所以当A板下移时,P点与B板的间距d1保持不变,有UPB=Ed1可知,P点与B板间的电势差UPB保持不变,因为B板接地,所以B板电势始终为0,P点的电势也就不变.当B板上移时,P点与B板的间距d1减小,虽然E保持不变,但根据UPB=Ed1可知,P点与B板间的电势差UPB将减小,所以P点的电势降低.故答案为A、C.

点评 电容器的动态问题指的是当平行板电容器的极板距离d和正对面积S发生变化时,引起电容器的电容C、电量Q、电压U、场强E的变化.要解决此类问题,必须掌握电容器3个基本公式:C=、C=、E=,熟悉两种情况:一是电容器充电后,两极板继续保持与电源相连接,则两极板U不变;二是电容器充电后两极板切断与电源的连接,则极板带电量Q不变.

2. 直流电路中的动态变化

例6 如图7所示电路中,当滑动变阻器R3的滑动触头P向b端移动时,()

A. 伏特表V的读数增大,安培表A的读数减小

B. 伏特表V和安培表A的读数都减小

C. 伏特表V和安培表A的读数都增大

D. 伏特表V的读数减小,安培表A的读数增大

解析 先从整体角度分析电路:当滑动变阻器R3的滑动触头P向b端移动时,R3的阻值增大整个电路总电阻R总增大;根据闭合电路欧姆定律I=得出干路中总电流I总减小内电压U′=I总r减小,由U=E-I总r得出路端电压U增大;然后进行局部分析:R1两端的电压U1=I总R1,减小R2两端的电压U2=U-U1,增大流过R2的电流I2=,增大流过R3的电流I3=I总-I2,减小.

由此可得:伏特表V的读数U1减小,安培表A的读数I3减小,故选答案B.

点评 对于直流电路的动态问题常采用结构分析法,即在理清电路结构的基础上,利用整体—局部法的思维途径.先分析局部电阻变化,然后根据全电路欧姆定律判断整体总电阻、总电流及路端电压的变化,最后根据串并联电路性质判断某局部电压、电流等电学量的变化情况,进而得出结论.

3. 变压器中的动态变化

例7 如图8所示为一理想变压器,S为单刀双掷开关,P为滑动变阻器的滑动触头,U1为加在变压器原线圈两端的电压,I1为原线圈中的电流,则()

A. 保持U1及P的位置不变,S由a合到b时,I1将增大

B. 保持U1及P的位置不变,S由b合到a时,R消耗的功率将减小

C. 保持U1不变,S合在a处,使P上滑,I1将增大

D. 保持P的位置不变,S合在a处,若U1增大,I1将增大

解析 S由a合到b时,n1变小,由=得I=;而I2=,U2=,则I1=,因为U1、n2、R不变,所以n1减小时I1增大;

S由b合到a时,P2=,而U2=,则P2= ,当U1、n2、R不变,n1增大时P2减小;

P上滑时,R增大,由I1=可知,U1、n1、n2不变,R增大时I1减小;

U1增大时,由I1=可知,n1、n2、R不变,U1增大时I1增大.故答案为A、B、D.

点评 处理变压器类的动态变化问题,关键是要分清变量和不变量,弄清理想变压器中各物理量间的联系和制约关系:在理想变压器中,U2由U1和匝数比决定,I2由U2和负载电阻决定,I1由I2和匝数比决定.

4. 带电粒子在复合场中的动态变化

例8 一绝缘棒处于磁感应强度为B的匀强磁场中,棒与磁场垂直,磁感应强度的方向水平垂直纸面向里,如图9所示.棒上套一个可在其上滑动的带负电小球C,小球质量为m,电量为q,小球与棒之间的动摩擦因数为μ,让小球从棒上端由静止下滑,求:

(1) 小球的最大加速度;

(2) 小球的最大速度;

(3) 动摩擦因数μ的大小应具备什么条件?

解析 (1) 当带电小球下滑后,受重力mg、洛仑兹力FB、棒的支持力FN和摩擦力Ff,如图10所示.随着小球的下滑速度v增大,洛仑兹力FB=Bqv增大,棒对小球的支持力FN减小,摩擦力Ff=μFN减小,下滑加速度a=增大;当支持力FN=0时,Ff=0,加速度a达到最大,所以可得到am=gsin θ.

(2) 小球达到最大加速度后,速度增加更快,当其速度增至一定值后,棒对小球的弹力变为压力,方向垂直棒斜向下,如图11所示,随着v↑FB↑FN↑Ff↑a↓,当小球的加速度a减小为零时,小球具有最大速度vm,之后小球做匀速直线运动.根据平衡条件:

mgsin θ=Ff,mgcos θ+FN=Bqvm,

又Ff=μFN,

由此解得vm=.

(3) 小球C从绝缘棒上由静止开始向下运动,必须满足的条件为mgsin θ>Ff,而摩擦力Ff=μFN=μmgcos θ,所以应有mgsin θ>μmgcos θ.由此解得,动摩擦因数为μ的大小应具备条件为μ

点评 带电粒子在复合场中运动的动态问题,分析的思路与力和运动问题的动态分析基本相同,即采用逐段分析法及临界分析法.需要注意的要弄清空间存在哪些场,特别是电场、磁场的方向及强弱,其次更应注意洛仑兹力的大小和方向与粒子的速度紧密相关.

5. 电磁感应中的动态变化

例9 如图12所示,在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中,有两根水平放置相距L且足够长的平行金属导轨MN、PQ,在导轨的M、P端连接一阻值为R的电阻,一根垂直于导轨放置的金属棒ab质量为m,导轨和金属棒的电阻及它们间的摩擦不计,若用恒力F沿水平向右拉棒运动,求金属棒的最大速度.

解析 金属棒ab受水平恒力F作用向右加速运动产生感应电流,感应电流在磁场中受安培力F安,所以由F合=F-F安=ma,有v↑E↑I↑F安↑F合↓a↓,当金属棒所受合力为零时,加速度为零,速度最大,此时F-F安=0.

所以由F安=BIL,I=,E=BLv,

有F安=,

得vm=.

■点评 解决这类问题,除了要充分考虑电磁学中的有关规律(如电磁感应定律,楞次定律,左、右手定则,安培力公式等)外,还应考虑有关的力学规律(如牛顿运动定律,动能定理,能量守恒定律等).要将电磁学和力学的知识综合起来应用,一般而言,匀速运动可结合平衡条件求解,变速运动的瞬时速度可结合牛顿运动定律和运动学公式求解,变速运动的热量问题一般用能量的观点分析.