关于合力大小随夹角变化规律的探讨

本文就力的合成问题在许多参考资料中的一幅插图提出质疑，并对这一问题进行了定性分析和定量讨论，给出了正确的结果；此外还利用计算机的辅助，应用EXCEL的函数计算和图表功能，得出了较为精确的合力F的大小随夹角θ变化的规律.

一、问题的提出

在许多相关参考资料中，经常会出现这样一个力的合成问题或与此相关的问题：在研究共点力合成实验中，得到两个力的合力F的大小与这两个力之间的夹角θ变化关系如图所示，由图中提供的数据求出这两个力的大小. 但问题是，不同的参考资料中出现了如图（1）、图（2）两张截然不同的变化曲线，而解法却无一例外，均作出了这样的分析：由题意读图可知，F1、F2夹角为π时，F1、F2的合力为2N；F1、F2夹角为π/2时，F1、F2的合力为10N，所以有：

由①②得：F1=8N、F2=6N或F1=6N、F2=8N.很明显，在处理上述问题时，参考答案都采用了特殊点来进行处理，而对一般性的合力大小随夹角变化的规律并没有进行细致研究，下面我们就这一问题进行深入的分析.

二、问题的分析

从两幅图可以看出单凭合力大小随夹角θ变化规律的单调性无法解决问题，因此，可以从合力F的大小随夹角θ变化快慢着手.由平行四边形法则可知，当两个分力F1和F2间的夹角为θ时，合力F的大小为F= ，

令y=F21+F22+2F1F2cosθ，运用换元法求导可知：

考虑到F1和F2对合力大小影响的等价性，从极限的角度可知：当两个分力F1和F2间的夹角θ由0°→180°变化的过程中，

≈-F2sinθ.

显然，合力F的大小随夹角θ变化的规律比较复杂，其变化的快慢程度与F1和F2的大小是息息相关的.

三、对规律的进一步理解

为了对所研究的问题有一个清醒的认识，下面我们就取三组比较特殊的分力来进行研究：①两个分力相等时，F1=10N、F2=10N，对应的合力、变化率分别为FA、kA；②两个分力相差极大时，F1=20N、F2=1N，对应的合力、变化率分别为FB、kB；③一般性的两个分力时，F1=8N、F2=6N，对应的合力、变化率分别为FC、kC.

1. 对何时变化最快和最慢的研究

借助EXCEL的函数计算功能，当夹角θ由0°→180°变化时，我们获得了如下表所示的一系列数据：

对上表的数据进行深入的分析后可得：

①F1=10N、F2=10N时，合力FA随θ的增加而减小，其快慢程度随θ的增加而增大，且θ=0°时变化最慢、θ=180°时变化最快.

②F1=20N、F2=1N时，合力FA随θ的增加而减小，其快慢程度随θ的增加先增大后减小，且θ=0°、180°时变化最慢，θ=90°时变化最快.

③F1=8N、F2=6N时，合力FA随θ的增加而减小，其快慢程度随θ的增加先增大后减小，且θ=0°、180°时变化最慢、θ=140°时变化最快.

重新研究上面的图（1）和图（2），我们可以发现：夹角θ由90°→180°变化的过程中，图（1）中合力F随θ的增加而减小，其快慢程度随θ的增加而增大，且θ=90°时变化最慢、θ=180°时变化最快；图（2）中合力F随θ的增加而减小，其快慢程度随θ的增加而减小，且θ=90°时变化最快、θ=180°时变化最慢.由此可知，正确的关系曲线应该是另有其图.

2. 合力、变化率随夹角θ变化关系曲线的获得

取F1=8N、F2=6N，其对应的合力、变化率分别为FC、kC，我们研究两力间的夹角θ由90°→270°变化过程中，合力、变化率随夹角θ变化关系的曲线.下面所获得的关系曲线均是利用计算机的辅助，借助EXCEL的图表功能——X、Y散点图实现的.

很显然，上图和图（1）、图（2）是有着本质的区别的，如果在教学中不加以仔细的分析和探究，就随便地作出判断都是十分有害的。（注：为方便观察，图中变化率kC放大为原来的2倍）

总之，教师在教学中要知其然，更要知其所以然. 只有这样，才能对所学的物理知识有清醒的认识，才能让学生养成分析和探究的良好习惯.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文