谈谈如何提高大学生的数学素养
摘 要：本文通过几个具体实例，从不同侧面阐述了数学素养的涵义与特征、数学素养在加快社会现代化进程中发挥的作用及如何提高大学生的数学素养。希望藉此短文，能够帮助我们正确认识和理解数学素养，使其在我们日常生活和改造自然的过程中发挥应有的作用。
关键词：数学素养；数学意识；数学语言；数学技能；数学思维
要谈数学素养，首先就得回答：为什么要学习数学？我们知道在学生中，除少数人将成为科技工作者或数学工作者外，许多人都无需直接用到稍深的数学知识，那么为什么在大学教育阶段，无论是理工科院系还是文科院系，都要学习高等数学呢？这是一个值得我们每一个人深思的问题。
关于为什么要学习数学这个问题，我随意问过几个学生，回答都很简单明了：数学有用。但当你进一步问他数学到底有什么用，如何去用时，就很难有一个一致的回答了。我认为要回答这个问题，就得从数学素养谈起。那么什么是数学素养呢？
所谓数学素养，有的学者认为是一种文化修养，有的学者认为就是数学品质。Lynn Arthur Steen和Ross Turner等认为数学素养就是在每天的生活挑战中有效使用数学知识、理解数学的能力（见文献[1]）。世界经济合作和发展组织（OECD）的一项国际学生评价项目对数学素养给出如此定义：数学素养是一种个人能力，学生能确定并理解数学对社会所起的作用，得出有充分根据的数学判断和能够有效地运用数学（见文献[2]）。
总之，数学素养不仅包括数学知识、数学能力，还包括数学文化、数学认知心理等问题。
为了进一步理解数学素养，我们从以下四个方面作简单的阐述：
1. 数学素养的涵义与特征
南京师范大学的杜其奎等教授认为数学素养的实质主要包括如下四个方面（见文献[3]）：
（1）数学意识。即用数学的眼光去观察、分析和表示各种事物的数量关系、空间关系和数学信息，以形成量化意识和良好的数感，进而达到用数理逻辑的观点来科学地看待世界。一个具有高素养的数学工作者应该具备不失时机地应用数学的意识。正如张景中院士在他的科普著作《数学家的眼光》中所描述的那样：“抓住平凡的事实，思考、探索、发掘，常能开拓出一个广阔的天地。数学家的眼光，就是这样由近及远，透过平凡的现象看到深刻的底蕴。”（见文献[4]第135页）。更通俗地说，数学意识就是一种职业习惯，“三句话不离本行”，一个具有高素养的数学工作者应该具备不失时机地应用数学的意识。
（2）数学语言。数学语言作为一种科学语言，它是数学的载体，具有通用、简捷、准确的属性，它能撇开那些具体国家的文字，在数学领域作为数学工作者共同交流的工具，如：“极限的 -语言”就能定量地描述“变量在变化过程中无限接近”这一定性的极限概念（见文献[5]）。
（3）数学技能。数学技能包括作图、运算、推理等基本数学技能，也包括数学建模和数学交流的技能。数学技能反映了人们进行数学活动的熟练程度，因此数学技能的学习是循序渐进的积累过程，同时高超的数学技能也是具备良好数学素养的一种外在表现。
（4）数学思维。数学是思维的体操，抽象、概括、归纳与推理等形式化的思维以及直觉、猜想等非形式化的思维，都是数学思维的重要体现。数学思维是一种优秀的思维品质，它有自身独特的规律和模式，需要在长期的数学训练中不断完善。
众所周知，问题是数学的核心，数学素养也就体现在发现问题，分析问题，解决问题的过程中。敏锐的数学意识有利于发现问题和将问题数学化，在分析问题过程中数学思维无疑起着重要的作用，而要解决问题则要运用各种各样的数学技能。当然数学语言一直贯穿始终，简洁准确的数学语言有利于问题讨论和交流。时至今日，数学的知识和技术逐步成为人们日常生活和工作中的一种通用技术，最显著的标志就是在各大跨国公司的招聘考试中，很多试题都直接与人们的数学素养相关。这是因为现代生活的专业化和规范化就要求人们具有较强的规则意识和良好的定量思维能力，而这正是数学素养的一种体现。由此可见，现代人的数学素养将与人的生存息息相关。
2. 数学素养发挥的作用
下面举两个例子，看看数学素养在其中如何发挥作用。
先看一个简单的例子：把一根围绕地球一圈的绳子，加长20米，再围绕地球一圈，问巨人能从绳子下面走过去吗？
答案似乎是否定的，因为人们通常会认为地球如此之大，围绕它的绳子仅加长了20米，不要说巨人从绳子下面走过去，恐怕连老鼠都爬不过去。但一个具有数学素养的人却有自己的理解，他首先通过数学思维，再进行简单的数学计算，肯定地回答了这一问题。他的解答如下：
设地球的半径为R米，则围绕地球一圈的绳长（地球的周长）为2R米，当绳长增加20米时，它所围成的圆的周长为(2R+20)米，其半径为(2R+20) /2R+3.18(米)，此时绳子与地球表面的高度约为3.18米，这个高度远远大于巨人的身高。
再看一个例子：在哥尼斯堡城（哲学家康德出生于此）18世纪时有7座桥跨在普列格尔河上（见图1）。城中的居民经常沿河过桥散步，渐渐地，爱动脑筋的人们提出了一个问题：是否可能在一次连续的散步中跨过7座桥而既不遗漏也不重复任何一座？这就是著名的哥尼斯堡七桥问题（见文献[6]）。
图1（七桥问题示意图）
图2（七桥问题数学模型）
这个问题好像与数学关系不大，看起来也似乎不难，但人们却始终无法找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉（Euler）那里。欧拉以敏锐的数学家眼光（数学意识），猜想这个问题可能无解（数学思维），然后他以高度的抽象能力，把问题变成了一个“一笔画”问题（数学技能）。其数学建模如下：能否从图2中的一个点出发，不重复地画遍所有连线，最后仍回到原来出发的那个点，欧拉称其为“一笔画”（数学语言）。
以下简介欧拉的演绎分析。一笔画的要求使得图形有这样的特征：除起点与终点外，一笔画问题中线路的交叉点处，有一条线进就一定有一条线出，故在交叉点处汇合的曲线必为偶数条。七桥问题中，有四个交叉点处都交汇了奇数条曲线，故此问题无解。
综上，欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的过程中，不经意地启动了他的数学意识、数学思维，并使用了数学技能和数学语言，这就是他的数学素养所发挥的作用。
3. 如何提高大学生的数学素养
数学素养不是与生俱来的，是在学习和实践中培养的。学生在数学学习中，不仅要理解和掌握数学知识，并用所学数学知识解决实际问题，更要体会数学知识中蕴涵的数学文化，了解“数学方式的理性思维”，提高自己的数学素养。那么究竟如何提高大学生的数学素养呢？以下我们就大学生如何在学习生活中注意提高自身数学素养和教师如何在教学中培养大学生数学素养两个方面来回答这个问题。
一方面，大学生要向欧拉这样的数学家学习，因为大数学家拉普拉斯曾说过“读读欧拉，他是我们共同的老师”。下面就来谈谈欧拉（见文献[7]）。
欧拉1707年生于瑞士巴塞尔，在大学时受到著名教授伯努利及其家族的影响，阅读了不少数学家的原著，17岁获得硕士学位，18岁开始发表数学论文，26岁成为数学教授、科学院院士。
他是数学上的一位多产学者，对该学科的每一分支都有贡献。在数学的各领域，及物理学、天文学、工程学中留下了举不胜举的数学公式、数学定理。如欧拉常数、欧拉恒等式、欧拉级数、欧拉准则、欧拉变换、欧拉坐标、欧拉积分、欧拉求积公式、欧拉方程、欧拉刚体运动方程，欧拉流体力学方程等。
欧拉有坚忍的毅力和勤奋刻苦的拼搏精神。1735年，他右眼失明，左眼视力也很快减退，他深知自己将会完全失明，但没有消沉和倒下，他抓紧时间在黑板上疾书他发现的公式，或口述其内容，让人笔录。双目失明后，他的寝室失火，烧毁了所有的专著和手稿，后来妻子又病故了，他在所有这些不幸面前不仅没有退缩，而是以非凡的毅力继续拼搏，直到生命的最后一刻。
读读欧拉后，留给我们的启示和想象很多。欧拉确实天资过人，但像他一样天赋的人绝不止他一个，欧拉将数学融入了自己的生命，他对各种数学问题充满兴趣，即使一些看起来与数学不相干的问题，他也从数学的角度加以考虑，欧拉的这种对数学的热爱一直保持到他生命的最后一刻。正是他的天赋和对数学的执着追求，经过长年的锻炼，欧拉具备了常人无法企及的数学素养。高斯曾评价道：“研究欧拉的著作始终是各个数学领域里最好的学校，没有任何别的可以代替它。”常读读欧拉，保持我们对数学的兴趣，激励我们在数学领域里不懈的努力，启示我们常常用数学的眼光来看待问题，这不失为提高自身数学素养的一种办法。
另一方面，教师在教学过程中要培养大学生的数学素养。要做到这一点，首先要让学生亲近数学、喜欢数学，在教学中联系生活实际，恰当设置教学情境，激发学生的兴趣。通过引导学生，让学生们意识到一些实际问题可以转化为数学问题，培养学生利用符号化的数学语言建立数学模型的能力，再进一步启发学生如何分析数学模型，从而达到求解实际问题的目的。最后与学生一起回顾解决问题的过程，让学生看到利用数学工具求解问题，不仅简洁而且常常能排除次要因素的干扰更反映问题的实质，让学生体会到运用数学解决问题的乐趣，以及良好的数学素养对自身的重要性。
下面就“常微分方程”课程中的一个例子来说明在教学中如何注意培养大学生的数学素养。2008年9月神舟七号飞船成功发射，全国人民欣喜万分。我结合给学生讲授高阶微分方程的契机，在课堂上向学生提出了“神七飞船怎么才能摆脱地球引力，飞离地球”的问题。学生们很感兴趣，马上就有学生说“只要达到第二宇宙速度，飞船就能摆脱地球引力离开地球。”学生们大都知道第一、第二宇宙速度，但对于如何利用牛顿力学定律推导出第二宇宙速度了解不多。我接着引导学生把问题进行严格表述，将一些物理量符号化，并画出示意图。第二宇宙速度就是铅直上抛的物体，在不计空气阻力的情况下，不再返回地面所需的最低速度。分别用M和m表示地球和抛射物体的质量，r为地球到抛射物体重心的距离，R为地球的半径，G为比例常数。学生马上能意识到由万有引力定律，地球对抛射物体的引力为 ，由牛顿第二定律： 即 (负号表示加速度为负)，这个方程满足初始条件t=0时，r=R； 。到这里学生们一阵兴奋，因为这正是刚学过的二阶常微分方程。很快就有学生解出速度 。而我们要求的是物体不再返回地面的最低初速度，转化为数学语言就是求v≥0，r→∞时v0的最小值（此处注意引导学生怎么利用数学语言来描述实际问题），这样一表达学生们恍然大悟，要满足以上条件显然要求 （即最低速度）。已知常数R=6370千米，G=6.67×10-11牛顿•米2/千克2，M=5.98×1024千克，解得v0=11.2千米/秒。所以当物体初速度不小于11.2千米/秒时，可挣脱地球引力不再返回地球。
通过这次课堂教学，学生感到很新奇，对微分方程这种数学工具也更感兴趣了。实际上，如果教师在课堂教学中常能设计这样的教学情境进行教学，那么大学生的数学素养也就自然提高了。
参考文献:
[1] Werner Blum, Peter L., Galbraith, etc., Modeling and Applications in Mathematics Education, The 14th ICMI Study Springer Science+Business Media, LLC, 2007.
[2] OECD, Measuring Study Knowledge and Skills, A New Framework for Assessment, .cn/qkpdf/dxjx/dxjx201111/dxjx20111106-1.pdf" style="color:red" target="_blank">原版全文 推荐访问： 素养 谈谈 提高 数学 大学生
