在探究一次函数性质的过程中体会数学方法

我们已经知道，函数的表示方法有列表法、解析法、图像法.在解决数学问题时，用解析法和图像法表示比较普遍，它们可以从“数”和“形”两方面来揭示函数的性质.课本中，在探究一次函数的性质时，就是从“数”和“形”两方面来得出结论的.那么，在探究一次函数性质的过程中，我们应用了哪些数学方法呢？

请看课本中的内容.如图1所示.

图1像上山越走越高那样，有些一次函数的图像的形态随着自变量的增大而上升；像下山越走越低那样，有些一次函数的图像的形态随着自变量的增大而下降.

首先是从“形”和“数”两个角度观察.从“形”的角度初步感知一次函数的图像的形态各异.“形态”有何特征？“各异”的原因在哪？就是一次函数的图像有些是随着自变量的增大而上升，有些是随着自变量的增大而下降，有的一次函数图像比较“陡”，有的一次函数图像比较“陂”.

其次是举特例.画图、观察图形、分析图形的形状、综合得出一次函数的自变量和因变量的关系.这既要单个地观察分析每个一次函数图像的特征，又要综合在一起归纳它们的共性特征.这里函 数y=2x+4代表一类 一次函数（即从左向右的方向是上升的直线），y=-32x-3代表另一类一次函数（即从左向右的方向是下降的直线）.之所以要“从左向右”看，是因为在x轴上（水平放置的x轴），从左向右的值是逐渐增大的.养成这种看图的方向和习惯，对以后的函数知识学习十分重要.

第三是猜想.从左向右看，形如“y=2x+4”的图像是上升的；形如“y=-32x-3”的图像是下降的.“上升”与“下降”的原因在于一次项的系数是正数还是负数.此外，一次函数的常数项对函数图像与y轴的交点是在x轴上方还是在x轴下方有影响.

第四是归纳、概括，得出结论.学生可以和学习小组的同学合作，分别举例、画图、比较，思考上面的观察、分析、综合、猜想是否有道理，能否得出一般性的结论.学生通过小组的交流讨论，得出结论：在一次函数y=kx+b中，如果k>0，那么y随x增大而增大；如果k<0，那么y随x增大而减小.

在上面的分析中，我们可以看出，探究一次函数的性质时，我们使用了画图、观察、分析、综合、猜想、归纳、概括等数学方法.通过这些方法能把一次函数的图像进行适当的整理和排列，用数学语言来表达它的状态、关系和过程，再经过猜想、推理、分析，最后形成解释、判断和预言.所以说，在解决问题的过程中，同一手段、技巧、程序被重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，便成为方法.这种研究一次函数图像的性质的方法，就是研究函数图像性质的一般性方法.这些方法是在数学研究与学习中积累起来的宝贵精神财富.

其实研究函数的一种途径是：利用函数图像的直观性认识函数性质.用图像研究函数性质的两个主要步骤：一是观察图像反映的变化规律；二是用文字语言描述变化规律.首先，我们要明确概括的主导思路.我们想要描述的是一次函数图像的特征，其次，在画图、看图的过程中猜想发现，再从发现中归纳猜想得出结论.

总之，在探究一次函数性质时，我们应多多引导学生体会其中的数学方法，并利用这些方法解决相应的数学问题，进而提高分析解决问题的能力.

（责任编辑 黄桂坚）