【3.第三节,,反比例函数】 什么是反比例函数
第三章 函数 第三节 反比例函数 (建议时间：40分钟) 基础达标训练 1. (2019海南)如果反比例函数y＝(a是常数)的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是( ) A. a＜0 B. a＞0 C. a＜2 D. a＞2 2. (2019安徽)已知点A(1，－3)关于x轴的对称点A′在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为( ) A. 3 B. C．－3 D．－ 3. (2019哈尔滨)点(－1，4)在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是( ) A. (4，－1) B. (－，1) C. (－4，－1) D. (，2) 4. (人教九下P9习题第8题改编)若mn＜0，则正比例函数y＝mx与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象可能是( ) 5. (2019河北)如图，函数y＝的图象所在坐标系的原点是( ) 第5题图 A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 6. (2019广州)若点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( ) A. y3<y2<y1 B. y2<y1<y3 C. y1<y3<y2 D. y1<y2<y3 7. (2019衡阳)如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝(m为常数且m≠0)的图象都经过A(－1，2)，B(2，－1)，结合图象，则不等式kx＋b>的解集是( ) A. x<－1 B. －1<x<0 C. x<－1或0<x<2 D. －1<x<0或x>2 第7题图 8. (2019山西百校联考四)如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别与反比例函数y＝－(x>0)和y＝(x>0)的图象交于A，B两点．若点C是y轴上任意一点，点D是AP的中点，连接DC，BC，则△DBC的面积为( ) 第8题图 A. B. 4 C. 5 D. 9. (2019遵义)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝(x>0)的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为( ) 第9题图 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 10. (2019益阳)反比例函数y＝的图象上有一点P(2，n)，将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝________． 11. (2018太原二模)如图，直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点，OA＝2，点C在x轴的正半轴上，若∠ACB＝90°，则点C的坐标为________． 第11题图 12. (2019郴州)如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象的交点，过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为________． 第12题图 13. (2019随州)如图，矩形OABC的顶点A，C 分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB的中点，反比例函数y＝ (k>0)的图象经过点 D，且与 BC 交于点 E，连接 OD，OE，DE，若 △ODE 的面积为 3，则 k 的值为________． 第13题图 14. (2019兰州)如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝(k≠0)的图象过等边三角形BOC的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC，AO. (1)求反比例函数y＝(k≠0)的表达式；
(2)若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标． 第14题图 能力提升拓展 1. (2019扬州)若反比例函数y＝－的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y＝－x＋m的图象上，则m的取值范围是( ) A. m＞2 B. m＜－2 C. m＞2或m＜－2 D. －2＜m＜2 2. (2019桂林)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(x＞0)的图象和△ABC都在第一象限内，AB＝AC＝，BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为(3，5)，若将△ABC向下平移m个单位长度，A，C两点同时落在反比例函数图象上，则k的值为________． 第2题图 3. (全国视野创新题推荐·2019临沂)汛期到来，山洪暴发．下表记录了某水库20 h内水位的变化情况，其中x表示时间(单位：h)，y表示水位高度(单位：m)．当x＝8(h)时达到警戒水位，开始开闸放水． x/h 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 y/m 14 15 16 17 18 14.4 12 10.3 9 8 7.2 第3题图 (1)在给出的平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点；
(2)请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式；
(3)据估计，开闸放水后，水位的这种变化规律还会持续一段时间，预测何时水位达到6 m? 参考答案 第三节 一次函数及其应用 基础达标训练 1. D 【解析】由题意可得a－2＞0，解得a＞2. 2. A 【解析】点A(1，－3)关于x轴对称点为A′(1，3)，代入y＝中得k＝3. 3. A 【解析】将点(－1，4)代入y＝，得k＝－4，∴y＝－，∴点(4，－1)在函数图象上． 4. B 5. A 【解析】y＝(x>0)的图象在第一象限，y＝－(x<0)的图象在第二象限，由图可知，当点M为坐标原点时，符合上述要求． 6. C 【解析】直接把各点代入反比例函数的解析式， 求出y1，y2，y3的值， 再比较出其大小即可．∵点A(－1，y)，B(2，y2)，C(3，y3)都在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝＝－6，y2＝＝3，y3＝＝2.∵－6＜2＜3，∴y1＜y3＜y2. 7. C 【解析】要使不等式kx＋b＞，只需找到使一次函数的图象在反比例函数的图象上方的x的取值范围．由图象可知，当x＜－1或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方，故不等式的解集为x＜－1或0＜x＜2. 8. D 【解析】如解图，连接OA，OB，OD，根据k的几何意义，S△BOP＝，S△AOP＝.又∵D为AP的中点，∴S△POD＝S△AOP＝.∴S△DBC＝S△BOD＝＋＝. 第8题解图 9. C 【解析】如解图，过点A作AE⊥x轴于点E，交CB的延长线于点F，∵A，B两点的纵坐标分别为4，2，∴AF＝2.∵菱形ABCD的面积为2，∴BC＝.∴AB＝.在Rt△ABF中，BF＝＝1，∴设A点的横坐标为a，则A(a，4)，B(a＋1，2)．∵反比例函数经过A，B两点，∴2(a＋1)＝4a，解得a＝1，∴A点的坐标为(1，4)．∴k＝1×4＝4. 第9题解图 10. 6 【解析】∵反比例函数y＝的图象上有一点P(2，n)，∴＝n.又∵将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，平移后点的坐标为(3，n－1)，∵点Q也在该函数的图象上，∴＝n－1，解方程组得 11. (2，0) 【解析】如解图，∵直线y＝x与双曲线交于A、B两点，OA＝2，∴OB＝OA＝2，∴点O为线段AB的中点，∵∠ACB＝90°，∴△ABC为直角三角形．∴OC为Rt△ABC斜边上的中线．∴OC＝AB＝OA＝2.∴点C的坐标为(2，0)． 第11题解图 12. 8 【解析】∵y＝的图象与y＝x的图象都关于原点O成中心对称，∴这两个函数图象的交点关于原点O成中心对称．设A(t，t)，t＞0，则C(－t，－t)．∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，∴D(t，0)，B(－t，0)．∴BD＝2t，AD＝CB＝t.∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△CBD＝BD·AD＋BD·BC＝·2t·t＋·2t·t＝2t2.∵点A(t，t)在y＝的图象上，∴t＝.∴t2＝4.∴S四边形ABCD＝2×4＝8. 13. 4 【解析】∵四边形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC.设B点的坐标为(a，b)．∵BD＝AD，∴D(，b)．∵D、E在反比例函数的图象上，∴＝k.设E的坐标为(a，y)，∴ay＝k.∴E(a，)．∵S△ODE＝S矩形OCBA－S△AOD－S△OCE－S△BDE＝ab－k－k－··(b－)＝3，∴2k－k－＋＝3.即2k－k－＋＝3，解得k＝4. 14. 解：(1)∵△BOC为等边三角形， ∴OB＝BC＝OC＝2，∠BOC＝60°. 如解图，过点B作BD⊥OC于点D， ∴OD＝1，BD＝2×＝. ∴B(－1，－)． ∵反比例函数y＝的图象经过点B， ∴k＝. ∴反比例函数的表达式为y＝；
(2)∵点A在反比例函数图象上， ∴设A(a，)． 易得S△BOC＝×2×＝. ∴S△COA＝S四边形ACBO－S△BOC＝3－＝2. ∵S△COA＝×2×＝， ∴＝2. ∴a＝. ∴A(，2)． 第14题解图 能力提升拓展 1. C 【解析】 反比例函数y＝－关于y轴对称的函数为y＝，解方程组消去y整理，得x2－mx＋2＝0，∵反比例函数y＝的图象与一次函数y＝－x＋m的图象有两个不同的交点，∴m2－8>0，解得m>2或m<－2. 2. 【解析】如解图，过点A作AM垂直于BC，垂足为M, M为BC的中点，∴BM＝CM＝2.由勾股定理得AM＝＝＝，∴点C的坐标为(5，)，平移后点A的坐标为(3，5－m)，点C的坐标为(5，－m)．∵A，C均在反比例图象函数上，∴3·(5－m)＝5·(－m)，解得m＝，∴k＝3·(5－m)＝. 第2题解图 3. 解：(1)在平面直角坐标系中描点如解图；
第3题解图 (2)由题意，设放水前的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 将点(0，14)、(8，18)的坐标分别代入上式得， 解得 ∴开闸放水前最符合表中数据的函数解析式为y＝x＋14. 设放水后的函数解析式为y＝，将点(12，12)的坐标代入得12＝， 解得m＝144. ∴开闸放水后最符合表中数据的函数解析式为y＝；
(3)把y＝6代入函数解析式y＝， 得6＝，解得x＝24. ∴开闸放水后，水位在24 h时达到6 m.
