初中数学复习,探究抛物线的隐含性质(于涵定理)

探索“抛物线”的几何性质（于涵定理） 一、以小见大，培育探究精神 1.如图，抛物线与轴交于点(，)，(，)，与轴 交于点(，)，则该抛物线的解析式为 . 2.解题后探究：
(1)猜想：上题中，，，，存在某种关系，该关系可以表示为：
， . (2)论证：若抛物线与轴交于点(，)，(，)， 与轴交于点(，)，求证：. 3.简单应用：
(1)抛物线与轴交于点(，)，(，)，与轴交 于点(，)，则该抛物线的解析式为 ；

(2)抛物线与轴交于点(，)，(，)，与轴 交于点，且，则该抛物线的解析式为 . 二、进一步探究(特殊→一般)：
1.如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点在， 之间的抛物线上运动. (1)的横坐标为时，比较大小：
；

(2)的横坐标为时，比较大小：
；

(3)当时， . (呢？) 2.如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，∥轴交 抛物线于另一点，轴于点，为上方的抛物线上任意一点， 于点. (1)比较大小：
；

(2)比较大小：
；

(3)当时， . 3.如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，为上方 的抛物线上一点，∥轴，于点，分别交轴，于点，. 请通过特殊点进行探究，并选出一个正确的式子（ ） A. B. C. D. 4.如图，(，)，(，)，(，)均在抛物线上，在， 且∥轴，过点，分别作，. 请完成以下探究过程：
(1)请选取字母，，，表示下列各边长：
① ；

② ；

③ ；

④ ；

(2)由∽可得，，化简得：
；

(3) ；

5.归纳总结：
三、小试牛刀：
1.(2006·河南压轴题改编)如图，是二次函数的图象，过点(，)的直线交 抛物线于点，，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，. 则当点在抛 物线上运动时(点不与原点重合)，请探究的值. (1)当点横坐标为时，则的值为 ；

(2)随着点位置的变化，是否定值？若是定值，请求出该定值；
若不是定值， 请说明理由. 2.如图，点在二次函数图象的第三象限部分运动，直线∥轴，且交 抛物线于点，将直线绕点逆时针旋转交抛物线于点，交于 点， 于点. (1)当点横坐标为时，则 ；

(2)随着点横坐标由大变小，的长度( ) A. 由大变小 B. 由小变大 C. 不变 D. 先变大后变小 (3)若将题中条件“旋转”改为“旋转”，但保证 与抛物线有交点，则 (用“”表示). 3.如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，为上方 的抛物线上一点，∥轴交于点，设点横坐标为. 探究：当为何值时，长度取得最大值？ 四、探究抛物线的“内接直角三角形”：
1.如图，将直角三角板的直角顶点置于原点，两直角边与抛物线交于，两点. (1)如图1，当时，也有，则 ；

(2)对于同一抛物线，将三角板绕点旋转（如图2），分别作轴，轴， 与轴交于点，且测得. ① ；

②点的坐标为 ；

(3)探究：在上题中，改变三角板位置（设），点的坐标是否发生变化？ (4)猜想点的坐标与的关系. 2.如图，(，)，(，)，(，)均在抛物线上，且是 以为直角顶点的直角三角形. (1)通过图1的探究，我们猜想：斜边 定点（填“经过”或“不经过”）；

(2)如图2，通过构造“一线三等角”进行探究：
①由∽可得，，选取字母，，，表示该比例式：
，化简得 ；

②由于涵定理可得（选取字母，，，表示）：
；

；

(3)综合(1)、(2)的探究结果，发现与中， 的长度是定值，因此斜边 （填“经过”或“不经过”）定点 （填“”或“”），且该定 点的坐标可用，表示为 . 3.反思：上述探究的意义何在？ 五、秒杀难题 1.(2014·武汉压轴题改编)如图，已知直线：与抛物线交于 ，两点. (1)直线总经过一个定点，点的坐标为 ；

(2)若抛物线上存在定点，使，求点到直线的最大距离. 2.如图，抛物线交轴于点，，，且射线与抛物线 交于点，点在抛物线上运动. (1)若点在第三象限运动，求面积的最大值；

(2)当时. ①过点作轴的平行线，交抛物线于点，则的面积为 ；

②求点的坐标. 3.(2016·武汉压轴题改编)如图抛物线交轴于点，，顶点为，点为抛物线上一动点，且位于轴下方. (1)若点(，)，(，)时，求该抛物线解析式；

(2)若直线，，分别交轴于点，，试探究是否定值？ 若是，请用表示；
若不是，请说明理由. 4.如图，抛物线交轴于点，顶点为，轴于点，为对称 轴右侧，第一象限内的抛物线上一动点，连接交抛物线于点. (1)求点的坐标；

(2)求证：为定值；

(3)直线，分别交轴于点，，试探究是否定值？ 若是，请用表示；
若不是，请说明理由. 5.如图，已知抛物线过点(，). (1)求抛物线的解析式；

(2)为点左侧抛物线上一动点，直线交直线于点，过点作轴 平行线交抛物线于点，连接，求证：恒过定点；

(3)在(2)的条件下，当运动时. ①求到直线的距离的最大值；

②求面积的最小值. 六、反思：
1.留有遗憾：虽然已经解决了为直角三角形时， 直角顶点的坐标问题；
但是为等腰三角形 时的问题，仍然未能解决！希望和各位老师共同探 讨…… 2.李书福曾经说过，造汽车无非就是“四个轮子上面安装两张沙发”. 其实于涵定理的应 用，套用一下李书福的话，就是“一条抛物线上三个点”，只要满足这个特征，就有于 涵定理生存的土壤！虽然有些问题运用于涵定理，可能会走一点弯路，但有这种意识终 归是一件好事.