2020届省级示范高中教育教学改革联盟学校高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）_高中教学改革

2020届级示范高中教育教学改革联盟学校高三上学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 1．已知复数z满足，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将化为后,两边取模即可求得答案. 【详解】 因为, 所以, 所以. 故选:C 【点睛】 本题考查了复数的模的运算,化为后,两边取模,根据模的运算性质求解,不需要进行复数的除法运算,这样可以减少运算,本题属于基础题. 2．若函数与的定义域分别为和，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据使函数解析式有意义的原则，分别求出，，根据集合交集运算定义，即可得到答案． 【详解】 解：
解：函数的定义域 函数的定义域 故 故选：． 【点睛】 本题以集合的交集运算为载体，考查了函数的定义域问题，其中根据使函数解析式有意义的原则，分别求出，，是解答的关键 3．已知，，，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】本题首先可以结合对数函数以及指数函数性质得出以及，然后根据得出，即可得出结果。

【详解】 由题意可知：，， 因为，，， 所以， 即， 故选:B. 【点睛】 本题考查指数与对数比较大小，需要熟练掌握指数与对数函数的图像与性质，考查推理能力，是中档题。

4．已知等差数列的前3项和为30，后3项和为90，且前项和为200，则（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【解析】依题意，利用等差数列下标和性质求出，代入前项和公式即可求出的值． 【详解】 解：依题意，，， 所以， 所以， 所以，解得． 故选：． 【点睛】 本题考查了等差数列的前项和，考查了等差数列的性质，属于基础题． 5．函数的大致图像为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果. 【详解】 函数的定义域为，当时，，排除B和C；

当时，，排除A. 故选：D. 【点睛】 本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题. 6．设数列前项和为，已知，，则（ ） A．1009 B． C．1010 D． 【答案】C 【解析】逐步求出推出周期为4，即可求得前2020项的和. 【详解】 由已知得：， . 故选：C 【点睛】 本题考查根据数列的递推公式研究数列的周期性与单调性，属于基础题. 7．已知，且，则（ ） A． B．7 C．或－7 D．或7 【答案】D 【解析】由题意按和分类讨论得，进而得的值即可. 【详解】 已知，且，当，∴cosα＝＝， 则，∴；

当，∴cosα＝＝，则，∴；

综上：或7 故选：D 【点睛】 本题考查三角函数的诱导公式的合理运用，分类讨论思想，易错点是三角函数的符号容易出错，属于基础题． 8．若非零向量、满足且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由垂直关系可得，因为，所以，求解即可. 【详解】 设与的夹角为， 由已知得：，，则， ，，，解得. 故选：C 【点睛】 此题考查向量的数量积运算，涉及垂直关系的向量表示，属于基础题. 9．古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形是阿基米德最引以为自豪的发现．现有一底面半径与高的比值为1:2的圆柱，则该圆柱的体积与其内切球的体积之比为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，由圆柱和球的体积公式能求出比值． 【详解】 解：设球的半径为， 则圆柱的底面半径为，高为， ，． ． 故选：． 【点睛】 本题考查球和圆柱的体积和表面积的计算及其应用，考查圆柱、球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 10．已知、、为平面内三点，满足，点在直线上，且，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【解析】由已知推出为等腰三角形，求出向量的夹角的余弦值，首先计算，利用二次函数的单调性即可求得最小值. 【详解】 因为，所以为等腰三角形， 当时，取得最小值3， 此时，，， ， 当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故选：A 【点睛】 本题考查向量的数量积与向量的模，属于中档题. 11．已知的内角、、的对边分别为、、，且，，点是的重心，，则的外接圆半径为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解析】首先利用正弦定理进行边角互化并化简可得，求出角A，由重心的性质得，同时平方可求出，从而三角形是等边三角形，再利用正弦定理即可求出外接圆半径. 【详解】 由已知得：，利用正弦定理可得， ，又，所以， ， 点是的重心， ， 化简得，解得， 所以是等边三角形，则的外接圆半径为，. 故选：A 【点睛】 此题考查运用正弦定理解三角形，重心的性质，综合性强，属于中档题. 12．已知函数的图象在点处的切线为直线，若直线与函数，的图象相切，则必满足条件（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求出函数的图像在点处的切线及在处的切线，由题意知方程有解，利用函数零点存在定理确定范围. 【详解】 函数的图像在点处的切线的斜率， 所以切线方程：即；

，设切点为，切线的斜率；

所以切线方程：，即， 若直线与函数，的图像相切， 则方程组有解，所以有解， 构造函数，， 显然在上单调递增， 且；
；

所以. 故选：D 【点睛】 本题考查利用导数的几何意义求切线方程，函数与方程的应用，零点存在定理判断函数零点的分布，属于中档题. 二、填空题 13．曲线在点处的切线方程为________. 【答案】 【解析】求出导函数，求出切线斜率，利用点斜式可得切线方程. 【详解】 ，， 令x=0，，切线斜率为-1， 所以曲线在点处的切线方程为. 故答案为：
【点睛】 本题考查应用导数求切线，属于基础题. 14．若函数在定义域内有递减区间，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】根据题意，求出函数的导数，分析可知在内能成立，利用参变量分离法，转化为 在上能成立，设，利用换元法分析可得答案． 【详解】 根据题意，函数，其导数， 若函数在定义域内存在单调递减区间， 则在上有解；

若，变形可得， 则在上能成立， 设，则，则， 则必有， 故的取值范围为；

故答案为：． 【点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．属于中档题． 15．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是________． 【答案】 【解析】由对恒成立可得，，又，由此可求出，代入原式即可求出的单调递增区间. 【详解】 由对恒成立可得，， 则，即， 又，即， 易得k为奇数，则， 所以= 令， 解得， 所以的单增区间是. 故答案为：. 【点睛】 本题考查三角函数的图象与性质，由题意得到是解题的关键，属中档题. 16．若、表示直线，、、表示不同平面，下列四个命题：
①，，，则；

②，，，则；

③，，，则；

④，与、所成的角相等，则. 其中真命题的有________.（请填入编号） 【答案】② 【解析】根据空间中线面关系的判定及性质逐项分析，即可得出答案. 【详解】 ①若，，，如图，则与不一定垂直，①错误；

②若，，，则，②正确；

③三棱柱的三个侧面分别记为、、，，，，但与相交，③错误；

④当直线m与n平行时，直线m与两平面、所成的角也相等均为，④错误. 【点睛】 本题考查空间中线面、线线关系和面面关系，要证明一个结论是错误的只需举出反例即可，属于基础题. 三、解答题 17．设命题：不等式对恒成立；
命题：方程有两个不同的正根.当命题和命题不都为假命题时，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】命题p为真时利用三角不等式求出a的范围，命题q为真时利用判别式及韦达定理求出a的范围，命题和命题不都为假命题时即为真，两范围取并集即可. 【详解】 ∵，∴，解得；

∵方程有两不同正根，∴，利用判别式和韦达定理可得：
解得， ∵为真，∴. 【点睛】 本题考查根据“或“的真假求参数范围，涉及三角不等式，韦达定理，属于中档题. 18．已知正项等差数列满足，，等比数列的前项和满足，其中是常数． （1）求以及数列、的通项公式；

（2）设，求数列的前项和． 【答案】（1），；
，；
（2） 【解析】（1）根据等差数列的性质得，结合，求出，进而求出的通项公式；
由已知等比数列的前项和，利用通项与前项和关系，可求出结论；

（2）由，用错位相减法，即可求解. 【详解】 解：（1）数列为正项等差数列，公差， ，又， ，，可得，即可得；

① 当时，， 当时，② ①②即可得，，又为等比数列， ，即可得，，；

（2）由题意得， ，③ ，④ ③④可得：． ． 【点睛】 本题考查等差数列通项基本量的运算，考查已知等比数列的前求参数及通项，考查错位相减法求数量的前和，属于中档题. 19．在三角形中，、、分别为角、、的对边，且． （1）求角的大小；

（2）若，求面积的最大值． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）根据题意化简得到，计算得到答案. （2）根据余弦定理得到，再利用均值不等式得到，代入面积公式得到答案. 【详解】 （1）由题意得，化简得， ∴，即可得，∴；

（2）∵，，由余弦定理得 即可得 ，∴ 当时等号成立. 【点睛】 本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 20．如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，是中点． （1）证明：平面；

（2）若，，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）连接BD交AC于F，连接EF，证明EF∥PB得到结论. （2）先确定AP⊥BP且△ABC为正三角形，取AB中点M，连接PM、CM，证明PM⊥平面ABCD，根据得到答案. 【详解】 （1）连接BD交AC于F，连接EF ∵四边形ABCD为菱形，∴F为AC中点，那么EF∥PB 又∵平面ACE，平面ACE∴PB∥平面ACE；

（2）由勾股定理易知AP⊥BP且△ABC为正三角形， ∵E为DP中点，∴， 取AB中点M，连接PM、CM，由几何性质可知PM＝1，， 又∵PC＝2，∴PC2＝PM2＋MC2，即PM⊥MC，∵PM⊥AB， ∴PM⊥平面ABCD， ∴，∴． 【点睛】 本题考查了线面平行，体积的计算，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 21．为庆祝建国70周年，某高中准备设计一副宣传画，要求画面面积为，画面高与宽的比为，画的上下部分各留出的空白，左右部分各留出的空白. （1）当时，该宣传画的高和宽分别为多少？ （2）如何确定画面的高与宽，使得宣传画所用纸张面积最小，并求出此时的值. 【答案】（1）54，126（2）画面的高为，宽；

【解析】(1)设画面的高为，宽，由面积列出方程求出x即可得解；
(2) 设画面的高为，则宽为，求出面积表达式利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】 （1）设画面的高为，宽，由题意得，解得， ∴该画的高为：， 宽为：；

（2）设画面的高为，则宽为，根据题意得 当且仅当即时等号成立，此时宽为， ∴. 【点睛】 本题考查函数的实际应用，涉及基本不等式求和的最小值，属于基础题. 22．设函数为常数 (1)若函数在上是单调函数，求的取值范围；

(2)当时，证明. 【答案】(1) ；
(2) 证明见解析. 【解析】（1）对函数求导，单调分单调增和单调减，利用或在上恒成立，求得实数的取值范围；

（2）利用导数研究函数的单调性，求得结果. 【详解】 （1）由得导函数，其中. 当时，恒成立， 故在上是单调递增函数，符合题意；

当时，恒成立， 故在上是单调递减函数，符合题意；

当时，由得， 则存在，使得. 当时，，当时， ，所以在上单调递减，在上单调递增， 故在上是不是单调函数，不符合题意. 综上，的取值范围是. （2）由（1）知当时，， 即，故. 令， 则， 当时，，所以在上是单调递减函数， 从而，即. 【点睛】 该题考查的是有关导数的应用，涉及到的知识点有根据函数在给定区间上单调求参数的取值范围，利用导数证明不等式，属于中档题目.