常用波尔兹曼常数测量方法的探究

摘 要 我们阐述和研究了目前测量波尔兹曼常数的基本方法，详细推导和分析了各种方法的基本原理。在此基础上，根据各方法的特点，结合目前大学物理基础实验中所常用的仪器，给出了各方法的一种实验实现方案，并对各方案的可行性做了具体的分析。

关键词 波尔兹曼常量 多普勒效应法

中图分类号：O4234 文献标识码：A

1引言

玻尔兹曼常量是统计热力学的一个基本常量，它是连接宏观与微观世界的桥梁。作为物理学的基本常量之一，玻尔兹曼常量的精确测量将对物理学进一步精确发展起到很大的推动作用。目前，波尔兹曼常数测量方法有多种，而发展较为成熟主要有两种，既多普勒效应法和PN结电子漂移法。多普勒效应法是从气体原子的谱线展宽与温度存在的函数关系反演得出波尔兹曼常数，该方法的特点是精确度很高，目前已知的实验上该方法所能达到的精度为10-6；PN结电子漂移法是根据PN结的漂移电流与电压的热力学关系确定波尔兹曼常数的，该方法的特点是测量过程简单，但测量精度较低，目前仅能达到10-2，故适合做验证性的方法。本文将从原理层面具体和深入分析以上两种方法的基本原理，在此基础上，本文也将给出在目前大学物理实验设备条件下的具体实验实现方案，为波尔兹曼常数的实验测量提供一定的参考。

2多普勒效应法

2.1 谱线展宽基本原理

图1：谱线轮廓

我们知道，原子的发射谱线是原子外电在能级间的跃迁所产生的，不同能级间跃迁所发射的光的频率是一定的，所以，对于单个原子我们能观察到特定数目的分立特征谱线。但在实际的自然界中，原子往往则以集体的、大量的形式出现，如空气中的氧原子，水中的氢原子等。这些原子集体所发射的光谱是有一定的宽度的，称之为谱线宽度，如图1所示。引起谱线展宽的原因有多种，对于气态原子如（汞灯中的）汞蒸汽，展宽的原因是气体原子的多普勒效应所引起的。在气态原子中，原子的热运动遵从麦克斯韦速度分布律

（1）

方程中k为波尔兹曼常数，T为气体温度。显然，当其中的某一原子面向探测器运动时，则我们探测到的光的将会蓝移；而如果某一原子背向探测器运动时，我们将会探测到红移。由于气体存在着朝各个方面的且速度不尽相同的原子，如（1）所示，所以我们最终将会探测到如图（1）所示的频谱分布。如果设最强处相应的频率为v0（强度为I0），我们可定义强度为I0/2处两侧的频率v1和v2的差|v2v1|=△v为谱线的半高宽。根据（1）式，利用原子运动速度和光谱频率f间的关系v=c（f/f01），我们可得到发射光谱频率分布函数

（2）

显然，频率分布继承了速率分布的高斯特性。对于高斯函数（2），我们很容易推导出谱线的半高宽为：

（3）

显然，对于特定的原子气体，质量与中心波长是特定的，此时如果我们测得了气体温度与展宽量即可计算出玻尔兹曼常量。

2.2实验实施方案

本实验仪器主要由三部分组成，即光源、干涉衍射仪、光强探测器。光源发射出来的光包含有原子热运动的信息，经过干涉衍射装置可将出射光的强度信息在空间上扩展开来，最后到达光强探测器对各频率强度进行解读，通过强度分布可确定谱线展宽。对于光源，我们可选用氢灯，氢灯是冷阴极辉光放电灯，其具有光源氢原子纯度高、发光稳定、谱线频率单一等诸多优点。对于干涉衍射仪和光强探测器，我们可选这集两者功能于一身的光学多道分析器。光学多道分析器是常用之仪器，他是集光学、精密机械、电子学、计算机技术于一体的精密仪器，能够精确的测量出某一入射光的频谱强度分布。虽然他的结构和工作原理较为复杂，但由于使用了计算机技术而使得操作过程十分的方便。

具体实验过程如图2所示，氢灯发出的光经透镜L后入射到光学多道分析系统。经过夹缝S1后入射到反射镜M1上，经M1反射入准直镜M2，M2可将入射光转换为平行光束投向光栅G，衍射后的平行光束经过物镜M3反射最终可在CCD或观察窗P上成像。经CCD扫描可得到不同频率的强度分布。根据强度对应的频率坐标值，我们即可测得谱线半宽值，根据谱线半宽和氢灯温度可最终反演出波尔兹曼常数。

3 PN结电子漂移法

3.1 PN结基本原理

PN结是二级管或者三级管（晶体管）上的重要部分，把P型半导体和N型半导体结合在一起，在兩者的结合面上将会发生电子与空穴的扩散。空穴和电子会相互越过交界面进行复合，在P区和N区交界面的薄层区内一边带正电荷，一边带负电荷，这个薄层即称之为PN结，如图3所示，PN结具有单向导电性。不同于常规的金属导体电阻，PN结的伏安特性并不是线性的，即PN结两端的所加的电压与通过的电流存在着指数函数关系，具体函数关系可由以下推导得出。

当PN结附加正向电压时[如图4（a）]，扩散和漂移的平衡被打破，扩散运动将占优势，此时将有大量的电子不断从N区扩散到P区，同时有较多空穴从P区扩散到N区。电子越过PN结后将继续向P区漂移，在漂移过程中不断与P区内的空穴复合。显然，距离界面越远，电子密度越低，扩散一定距离后，电子与空穴全部复合，最后消失。所以，从界面伊始至P区纵深处电子的浓度形成了梯度差，正是这种梯度差使得电子和空穴不断的运动，形成了PN结电流。从能量的角度看，假设未加电流时PN结的电势差为VD，此时P区相对于N区具有负电势，也即P区电子的电势能增加了qVD，其中q为电子电量，该势垒阻止N区的电子继续向P区扩散，故而形成了动态平衡。由波尔兹曼统计规律可知，动态平衡时PN结两边的载流子满足以下分布：

（4）

式中和分别表示平衡态时P区电子浓度和空穴浓度；和则表示平衡态时N区的电子浓度和空穴浓度。从（4）可看出P区的少数载离子浓度依赖于结电压的大小，故而此时如果我们对PN结施加正向电压V，即势垒高度降为q（VDV），我们容易推出P区附近的电子浓度分布

（5）

（5）式表明P区附近的电子浓度附加电势甚为敏感，具体表现为指数关系。对应于该式，我们容易得出PN处非平衡载流子浓度为

（6）

于是可得到正向电压下电子扩散而产生的电流密度为：

（7）

式中Cn为一比例系数，它与电子的扩散系数和扩散长度有关，而与温度等因素无关。同理，如果我们分析处在正压降下由于空穴的扩散而产生的电流密度jp，将得到与（7）式相同的表达式，于是可最终得到PN结在加正向电压下，PN结的伏安特性表达式：

（8）

式（8）表明，在加正向电压下，PN结处的正向电流随电压呈指数增长。对于特定材料的PN结，一定温度下，是一项不随电压电流变化的常数，于是如果我们能测定PN结两端电流随附加电压的具体数值即可推导出波尔兹曼常数k。

3.2 实验方案

理论上，我们可利用二极管，改变附加在二极管上的电压，同时测量通过二极管管的电流，最后拟合电压电流关系即可测得波尔兹曼常数。然而实际实验中该种方法测出的波尔兹曼常数值往往偏小，原因是二极管电流不仅仅是扩散电流，还存在着其他电流的影响，诸如耗尽层复合电流，其正比于，还有就是表面电流，它是由SO2界面中的杂质原子所引起的，其正比于，其中m>2。所以在实际实验中往往采用三级管来准确的测量k。实验中一般将三极管接成共基极，即集电极与基极短接，此时集电极电流为扩散电流，而表面电流出现在基极，在这种情况下，此时集电极电流与结电压严格满足（8）式。

实验中我们可采用TIP31型三级管，实验中可设置其处于较低的正向偏置，于是表面电流的影响可完全忽略。在较低正向偏置的情况下，PN结的电流大致在10-5-10-8数量级间，故漂移电流十分的微弱。为测量此微弱电流可有两种方法，一是使用使用高灵敏度的电压或电流表（近代物理实验中心一般配有纳米级毫伏表），如图5所示，集电极电流可通过测量电阻两端电压降获得，这里的电阻仅设为1 是为了减小集电极对发射集的反馈影响，尽量达到集电极接地之效果。二是将微小电流放大进行测量，即可运用集成运算放大器，如图6所示。为将集电极的微弱电流进行放大，我们可在集电极回路中串入LF356运算放大器，F356是一个高输入阻抗的集成运算放大器，具有输入阻抗低，电流灵敏度高，温漂小，线性好，设计简单等优点，该放大器的功能是将微弱的电流信号转换为较强的电压信号V2输出。最后根据结电压V1和结电流的V2测量值，通过指数拟合即可求解出波尔兹曼常数。

4结语

本文首先從原理层面学习与回顾了目前波尔兹曼测量的主要方法，接着考虑了具体实验的实现过程。根据大学物理的实验的基本特点，我们制定和总结出了测定波尔兹曼常数的几种实验方案，对实验各个细节做了较为细致的分析，以此为契机，为我们进一步测定波尔兹曼常数的具体实验过程提供一定的指导。

参考文献

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