基于数学抽象核心素养的教学设计

【摘要】“数学抽象”是高中数学核心素养的重要内容.高中数学教学，以核心素养为目标和依据着力培养学生的数学抽象能力，需要引导学生积累从具体到抽象的活动经验，使学生深入理解数学概念、命题、方法和体系，通过抽象概括，把握事物的数学本质，逐渐养成一般性思考问题的习惯，并能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题.

【关键词】数学抽象;核心素养;教材;目标;情境;探究;设计意图;反思

《普通高中数学课程标准（征求意见稿）》中明确指出：“数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成的.高中数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六个方面.”其中“数学抽象”是六大核心素养之首，数学抽象一般表现在四个方面：形成数学概念和规则;形成数学命题与模型;形成数学方法与思想;形成数学结构与体系.对普通高中教师来说，如何落实对学生数学抽象素养的形成与发展至关重要，需要教师精心设计教学环节，以核心素养为目标和依据.笔者以形成数学概念为例，选取人教A版高中数学教材必修1第3章第1节第一课时中“方程的根与函数的零点”内容为例，构思基于核心素养视角下的教学设计.

一、背景分析

数学概念的形成过程是最典型的数学抽象过程，在传统教师的概念课中，一般以讲授为主，学生缺乏经历得到完整概念的抽象过程，导致学生的理解停留在表面，后期需要学生经过大量的练习来达到能力的提高.因此，在概念形成之初，就要求教师能够综合运用多种教学方法，通过开展系列问题探究，引导学生主动进行抽象思考，最终概括出数学本质，理解和掌握所要学习的数学概念.

二、教学内容解析

（一）教材地位

本节主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在性定理，是一节概念课.本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合能力的基础之上，利用函数图像和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础.因此，本节内容具有承上启下的作用.

（二）教材分析

函数的零点是中学数学的一个重要概念，从函数角度来看，零点是使得函数f（x）等于0时的实数x;从函数图像的角度来看，是函数f（x）与x轴的交点横坐标;从方程的角度来看，是对应方程f（x）=0的实根.函数的零点，将数与形，函数与方程有机地联系起来.作为函数应用的第一节课，学生在了解函数与方程的关系过程中，教材选择了一元二次方程与二次函数作为切入点，再推广到一般方程与相应的函数，教师有必要通过问题的设置，从直观到抽象，从特殊到一般，抽象出所学的零点的概念.

零点存在性定理，就是通过寻找函数的零点来研究方程的根，这个定理不需要证明，在缺少证明的环节下，关键在于让学生结合具体实例，直观感知体验，加强对定理的全面认识，抽象概括出定理，并加以利用来解决问题.对定理的条件和结论，根据以往经验，学生考虑不够全面，教师通过系列问题，从各种角度重新审视，完成函数零点存在的判定定理的构建.

（三）教学目标

1.知识与技能

（1）了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如一元二次方程）说明方程的根、函数的零点、函数图像与x轴的交点三者的关系.

（2）理解函数零点存在性定理;了解图像连续不断的意义及作用;知道定理只是函数存在零点的一个充分条件;了解函数零点可能不止一个.

（3）能利用函数图像判断某些函数的零点个数及所在区间.

2.过程与方法

经历“构建—反思—完善—总结”数学抽象的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括能力，体会从特殊到一般的转化的数学思想，体验函数与方程思想及数形结合思想，在数学抽象的过程中，培养学生的数学核心素养.

3.情感态度与价值观

在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，鼓励学生通过观察、类比，提高发现、分析、反思、解决问题的能力.

三、“数学抽象”核心素养视角下的案例分析

（一）创设情境，感知概念

问题1：解方程：2x-4=0;

问题2：作出函数y=2x-4的图像;

问题3：令函数y=2x-4的函数值为0，得x=2，方程的根也是x=2，是巧合还是必然？

（二）探究新知（零点的概念）

问题4：求出下列一元二次方程的根，并作出相应的二次函数的图像.

（1）方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3;

（2）方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1;

（3）方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3.

问题5：对比方程的根与相应的函数与x轴的交点，发现了什么？

（方程的根与函数与x轴的交点的横坐标是一致的）

这个根既有数的意义，又有形的意义，它还有一个名称叫作函数的零点.

问题6：对一般的函数y=f（x），如何定义它的零点？

学生回答：（1）方程f（x）=0的根，叫作函数y=f（x）的零点.

（2）函数y=f（x）的图像与x轴的交点的横坐标，叫作函数的零点.

两种解答分别从数和形的角度理解了零点的概念，并從中得出零点不是点，而是一个数.

得出结论：

函数零点的定义：对函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫作函数y=f（x）的零点.

设计意图：教师引导学生推出一元一次方程，一元二次方程的根就是对应的一次函数、二次函数的图像与x轴交点的横坐标，得出一般性的结论.对一般式子分析解释，对概念形成系统正确的概念.完成从特殊到一般，从具体到抽象的思维过程.

问题7：函数零点的求法有哪些？定义法、图像法.

教师引导完成等价关系的知识：

方程f（x）=0的根函数y=f（x）的零点函数y=f（x）的图像与x轴交点的横坐标

设计意图：这个过程强化了零点的概念，在强化函数零点的几种等价关系的过程中，对概念的发生和形成过程再次体验，完成对整个数学抽象的过程.

（三）例题巩固

例1 判断函数f（x）=x2-x-1是否存在零点，如果存在，请求出.

设计意图：使学生熟悉定义法与图像法求函数零点，巩固概念的过程中，有一半学生选择图像法（作出二次函数顶点位置和开口方向，得出有两个零点），一半学生选择定义法（即求方程f（x）=0的判别式，得出两个根）.学生在内化过程中自己体验两种方法的优劣，以寻求最合适的方法做题.

（四）探究零点存在性定理

问题8：函数f（x）=x2-x-1在区间（1，2）上存在零点吗？

问题9：函数f（x）=x2-x-1在区间（-1，0）上存在零点吗？

学生根据例1的解题方法，分为两个阵营，利用定义法的同学，已经计算出零点，经过估算得出结论;利用图像法的同学，可以由对称轴x=12，开口向上，通过计算f（1）<0，f（2）>0，f（-1）>0，f（0）<0可知，函数图像在这两个给定区间内均穿过x轴，则在给定区间内必有零点.

问题10：函数f（x）=log2x-12x在区间（1，2）上是否存在零点？

设计意图：学生从数与形的两个不同角度给出了判断，从例1在整个定义域上的零点存在性问题到给定区间的零点存在性问题，给学生提供了两种方法.在问题10出现之后，产生了一个认知冲突，图像法与定义法均无法顺利解决问题时，是否可以利用上述的结论，如果函数在给定区间穿过x轴，则在给定区间内必有零点，问题转化为如何判定函数图像是否穿过x轴.通过分析可知，计算函数在给定区间端点的函数值，如果一个大于0，另一个小于0，那么函数在这个区间上存在零点.

问题11：得出的这个结论都成立吗？

学生活动，提出质疑与给出反例，教师进行补充.

问题12：请用数学符号和语言来表达以上的结论.

问题13：刚才使用的所有区间都为开区间，这种使用合理吗？

问题14：何为f（a）·f（b）<0，如何解读？教师作图，学生辨析.反思当f（a）·f（b）>0时，就一定没有零点吗？

问题15：函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，又该如何解读？具体有几个？

问题16：是否可以加上某个条件，得到零点个数是唯一的呢？

设计意图：一系列的问题，引导学生对定理进一步认识，零点存在性定理仅能用来判定零点是否存在，而不能确定零点个数，定理的逆命题及否命题都不成立，零点存在性定理是零点存在的充分不必要条件.而在进一步探究的过程中发现，如果加上函数单调的前提，将得到函数存在唯一的零点的充要条件.至此，函数零点存在的判定完成了完整的构建.学生经历了发生、发展、形成、完善的过程，在过程中一步步地抽象出数学概念，将每个关键词进行解读，提升了数学抽象的能力.

四、课后反思

在数学概念的教学中，遵循学生独立思考为先，互动交流在后的原则，鼓励学生自己发现问题，并解决问题，避免直接把概念抛给学生.互动过程中进行构建-反思-完善-总结，用严谨的数学符号与语言表达研究的对象，对数学概念进行完整的建构，并且将数学抽象的方法在心里扎根发芽，提升自我的核心素养.

本节课的教学设计基于学生已有的认知水平上，学生对二次函数、一元二次方程等很熟悉，教学设计关注点在于学生数学抽象核心素养的培养，以问题引导学生学习，力图做好以下两个方面：

（一）突出重点，突破难点

上述教学过程设计，围绕着零点的概念及零点存在性定理开展，以问题串的形式来突出重点和突破难点.通过创设情境，学生动手操作，通过解决一个个问题，参与每一个活动，激发兴趣，引起思考，最后在活动中获取新知.

（二）强化概念的理解与运用

在對零点存在性定理完善的过程中，通过具体的图像，结合形象的语言描述，学生对概念的理解是非常深刻的，不仅对数学抽象有了很强的体会，还培养了学生的逻辑推理和批判性思维品质.

经课堂教学实践与学生交流讨论后，得知学生对本节课掌握情况良好，达到了原定的目标，修改和完善的环节为问题14与问题15的设问方式及解决方法.原设计是由教师给出具体的情况，由学生分析哪些情况是符合要求的，并加以总结.修改为进一步对零点存在性定理做一个反思，学生会得到问题：

1.在零点存在性定理的条件下，得到的零点唯一吗？

2.定理的逆命题，如果函数在区间（a，b）内有零点，一定有f（a）·f（b）<0吗？

3.如果f（a）·f（b）>0，函数在区间（a，b）内一定没有零点吗？

通过学生的反例，教师加以补充，再以形象化的语言加以描述.反思的过程由学生自我完成，让成长中的学生主动探索，自主构建，不断完善与发展，以其获得更为理想的课堂教学效果.

【参考文献】

[1]章建跃.树立课程意识 落实核心素养[J].数学通报，2016（5）：1-4，14.

[2]李霞.核心素养在数学“翻转课堂”中的落实[J].教育评论，2017（10）：153-155.