径向基函数随机响应面法

摘要：针对随机响应面法对非正态分布响应与标准正态分布输入之间的复杂非线性隐函数拟合不够理想的问题，基于径向基函数在杂散数据拟合方面的优异性能，提出使用径向基函数替换Hermite多项式来解决复杂非线性隐函数拟合问题。以若干个非线性解析函数和钢管混凝土肋拱极限承载力不确定性问题作为算例，验证该方法对非正态分布响应拟合的精确性和对工程问题的适用性。算例结果表明，基于径向基函数随机响应面法对高度非线性的响应与输入隐函数拟合较好；在多参数钢管混凝土拱极限承载力不确定性问题中，精度较高，且比Hermite多项式样本点数量少。

关键词：随机响应面法；径向基函数；非正态分布响应；极限承载力；钢管混凝土拱

中图分类号：U441

文献标志码：A

文章编号：16744764（2014）02004206

Abstract：For nonideal interpolation results of complex implicit nonlinear functions between nonnormal distribution response and standard normal distribution inputs using stochastic response surface method， radial basis functions was used to replace Hermite polynomials so as to solve complex implicit nonlinear function interpolation problem for its excellent performance on scattered data interpolation. A few nonlinear analytical functions and uncertainty problems of the load carrying capacity of single circular concrete filled steel tubule （CFST） arch were used as examples to test and verify the precision of proposed method in nonnormal distribution response interpolation and its engineering applicability. The results show that stochastic response surface method based on radial basis functions performs well in fitting highly nonlinear input implicit functions， and can achieve high precision on multiparameters CFST arch load carrying capacity uncertainty problems. Meanwhile， the method has less sample points compared to the Hermite polynomials method.

Key words：stochastic response surface method； radial basis functions； nonnormal distribution response； load carrying capacity； concrete filled steel tubule arch

极限承载力表征着结构能承担的最大荷载，是描述结构抗力的重要指标。结构的几何参数、材料参数和初始缺陷等是影响极限承载力的主要参数，当这些参数具有不确定性时结构的极限承载力也具有不确定性。在结构极限承载力不确定性的分析方法中，蒙特卡洛有限元法MCFEM（Monte Carlo Finite Element Method）[1]将一定分布的随机数作为确定性有限元模型的输入，经大量双重非线性数值计算和对输出结果的统计分析，得到极限承载力不确定性的统计特征。该方法精度高，被广泛认可为精确解，用于校核其他不确定性分析方法；由于MCFEM方法需进行大量非线性有限元运算，因而计算成本高。随机响应面法SRSM（Stochastic Response Surface Method）[2]使用埃尔米特（Hermite）多项式拟合响应与参数之间的复杂隐函数关系，因而能够快速得到系统的响应，解决了计算成本问题，并在可靠度领域得到广泛的应用。文献[3]对响应面法和随机响应面法在结构可靠度分析中的应用进行了比较，发现后者具有较好的精度；文献[4]使用随机响应面法对可靠度灵敏度进行了分析；文献[5]在对结构疲劳开裂分析预测中使用了随机响应面法。为进一步拓展随机响应面法的应用范围，文献[6]提出基于高阶Hermite多项式的随机响应面法，用以解决非正态分布输出拟合及输入随机变量相关性问题；文献[7]基于Nataf变换解决了随机响应面法在相关的非正态分布随机变量输入情况下的应用；文献[8]提出最优概率配点法则，用以降低高维参数下随机响应面的试验次数；这些工作均是随机响应面法的进一步发展。

胡常福，等：径向基函数随机响应面法

学者们通过对Hermite多项式研究后发现，当输出不是正态分布时Hermite多项式的收敛较慢[9]。这个缺陷使得对响应与参数为高度的非线性函数关系时，基于低阶Hermite多项式的随机响应面法拟合不够理想，而高阶Hermite多项式表达形式过于复杂不便于使用；基于Hermit多项式的随机响应面法使用p+1阶Hermit多项式根的组合作为试验的样本点，相当于p+1个因素p+1水平的全因子试验，在高维参数下试验次数急剧增多，计算效率大大降低，这一点在费时的钢管混凝土拱极限承载力不确定分析中尤为重要。本文基于径向基函数RBF（Radial Basis Functions）在杂散数据拟合方面的优异性能，将其引入随机响应面法中替代Hermite多项式作为拟合函数，用以拓展随机响应面法在响应输入高度非线性隐函数关系中的应用。以几个非线性解析函数和钢管混凝土肋拱极限承载力不确定性问题为例，验证本文方法对拟合非正态分布输出的精确性和对工程多维参数问题的适用性。

1径向基函数随机响应面法

1.1随机响应面法

随机响应面法是经典响应面法RSM（Response Surface Method）的拓展，它将标准正态分布随机变量ξ作为系统的输入，采用如式（1）所示的Hermite多项式拟合系统响应与输入之间的隐函数关系[2]。

由表4可以看出，在2参数至5参数的各随机工况，使用Hermit多项式及RBF函数随机响应面法计算的钢管混凝土拱极限承载力不确定性与Monte Carlo有限元法结果相比，Hermit多项式结果均值相对误差的最大值为0.34%，标准差相对误差的最大值为1.60%，RBF函数结果均值相对误差的最大值为0.47%标准差相对误差的最大值为1.61%，表明两者均具有较高的精度；由图2可以看出，在两参数至五参数的各随机工况，使用Hermit多项式及RBF函数随机响应面法计算的概率密度曲线与Monte Carlo有限元法结果均吻合较好；对4个工况计算结果的进一步分析结果表明，钢管混凝土拱极限承载力不确定性结果的统计分布不拒绝正态分布假设，所以RBF随机响应面结果不能比Hermit随机响应面结果精度更高，因大量研究实践表明后者在正态分布结果拟合方面具有很高的精度。在样本点数量方面，Hermit多项式随机响应面法在五个随机工况下分别为32、33、34、35个，而RBF函数随机响应面法样本点数量分别为22+5、23+7、24+9、25+11个，分别为前者的1.00、0.56、0.31、0.18倍，呈现出随着参数维数的增加而样本点数量大量减少的规律。综合表4、图2和样本点分析可知，在输出为正态分布的多维参数不确定性工程问题中，RBF函数随机响应面法与Hermit随机响应面法精度均较高，后者在具有较好精确性的同时，样本点数量大大减少，且随着参数维数的增加而减少越明显。

4结论

基于径向基函数在杂散数据拟合方面的优异性能，将其引入随机响应面法中替代Hermite多项式作为拟合函数，用以解决响应与输入高度非线性复杂隐函数的拟合问题；通过对几个典型非线性解析函数和钢管混凝土拱极限承载力不确定性问题的检验，得到以下主要结论。

1）基于径向基函数的随机响应面法，可用于非正态分布响应与标准正态分布输入之间复杂非线性隐函数的拟合问题。

2）通过对几个典型强非线性解析函数不确定性的验算结果表明，径向基函数随机响应面法的响应统计特征值和概率密度曲线均与精确解吻合较好。

3）在钢管混凝土拱极限承载力不确定性问题中，径向基函数随机响应面法结果与Monte Carlo有限元法结果在响应统计特征值和概率密度曲线方面均吻合较好，计算成本较传统Monte Carlo有限元法显著减少。

4）对钢管混凝土拱极限承载力5个随机参数工况不确定性的分析结果表明，在输出为正态分布的工程问题中，径向基函数随机响应面法样本点数量比Hermit多项式随机响应面法大为减少，且随参数维数的增加而减少越明显。

5）数学算例与钢管混凝土拱极限承载力不确定性算例表明，径向基函数随机响应面法在非正态分布与多参数正态分布响应拟合方面具有较好的优势，传统Hermit随机响应面在少参数的正态分布响应中应用结果较好。

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（编辑王秀玲）