恒定总流连续性方程推导的对比分析式教学改革探索

总结和反映了水流运动过程中水流的过水断面面积与断面平均流速沿流程的变化规律，是解决水力学问题的重要公式。本文从质量守恒定律出发，针对流体的连续介质特性，分别从“微元体”与“元流”两个切入点推导连续性方程，并进行对比分析，为连续性方程的专题性教学改革探索提供参考。

一、连续性方程的“微元体”推导过程

连续性方程的“微元体”思想是依据连续介质假设把物质质量守恒定律用微分方程的形式表述的方程式。

1.连续性微分方程。在流场中取微小直角六面体空间为控制体，正交的三个边长dx、dy、dz，分别平行于x、y、z坐标轴（图1）。

2.连续性微分方程对总流的积分。设恒定总流，以过流断面及侧壁面围成的固定空间为控制体，体积为V（图2）。

式中A为体积V的封闭表面，上式u1的方向与dA外法线方向相反，取负号。由此得到：v1A1=v2A2上式即为总流的连续性基本方程，式中v1、v2为总流的断面平均流速。

二、连续性方程的“元流”推导过程

1.微小流束（元流）的连续性方程。在采用“元流”思想推导连续性方程的过程中，取上游过流断面A1和下游过流断面A2之间的总流管作为控制体（图3），在恒定流、无流体流入或流出、连续介质等假定条件下，根据质量守恒定律，得“元流”连续性方程ρ1u1dA1=ρ2u2dA2；对不可压缩流体的定常流动，有ρ1=ρ2=ρ，得不可压缩流体“元流”连续性方程u1dA1=u2dA2。

2.总流的连续性方程。将微小流束（元流）连续性方程对过水断面A1及A2进行积分得：ρ1v1A1=ρ2v2A2上式表明可压缩流体做定常流动时，在单位时间内通过A1流入控制体的流体质量等于通过A2流出控制体的流体质量。对不可压缩流体，ρ为常数，则v1A1=v2A2。

三、讨论与分析

无论采用“微元体”思想还是“元流”思想推导连续性方程，都以质量守恒定律为基础。根据连续性方程的适用范围，推论如下：

1.有“固定边界域”的总流连续性方程：适用范围：恒定流、非恒定流、可压缩、不可压缩流体、理想流体、实际流体。

2.恒定总流连续性方程：适用范围：恒定流、可压缩、不可压缩流体、理想流体、实际流体。对于不可压缩流体，有v1A1=v2A2。

3.分叉不可压缩流体恒定总流连续性方程：v1A1=v2A2+v3A3。

针对连续性方程的不同推导过程，结合《水力学》课程教学目标和课程特点，制定的教改思路如下：（1）水力学教学宜采用由一元、二元到三元，由可压缩到不可压缩，由理想到粘性的系统化理论教学体系；（2）注重实践性教学改革探索；（3）吸取国内外水力学教材精华，拓宽学生的思维结构与知识体系；（4）在课堂上善于举实例说明问题；（5）正确处理好教学与科研的关系。

四、结论

本文就《水力学》中连续方程的推导进行了对比分析式教学改革探索，结论如下：

1.采用对比分析方法推导水力学基本方程式，可以达到授课的系统性和关联性，帮助学生真正理解、掌握和应用方程。

2.采用“微元体”或“元流”对比分析式的教学模式推导基本方程能开拓学生的学习思路，实现水力学教学方式创新性改革的目标。

参考文献：

[1]吕宏兴，裴国霞，杨玲霞.水力学[M].第二版.北京：中国农业出版社，2011.

[2]张志昌.水力学（上册）[M].北京：中国水利水电出版社，2011.

[3]余周武.《水力学》课程的特点及教学改革的思考[J].水利天地，2010，（2）.

[4]李家星，赵振兴.水力学（上册）（第1版）[M].南京河海大学出版社，2001