有理数知识点总结 七年级有理数知识点总结

2021-10-25 11:39:02 | 浏览次数:

有理数基础知识 正数和负数 ⒈正数和负数的概念 负数:比0小的数 正数:比0大的数 0既不是正数,也不是负数 注意:①字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是负数;
当a表示负数时,-a是正数;
当a表示0时,-a仍是0。(如果出判断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如+a,-a就不能做出简单判断) ②正数有时也可以在前面加“+”,有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。

2. 具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如:
零上8℃表示为:+8℃;
零下8℃表示为:-8℃ 3.0表示的意义 ⑴0表示“ 没有”,如教室里有0个人,就是说教室里没有人;

⑵0是正数和负数的分界线,0既不是正数,也不是负数。如:
有理数 1. 有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数) ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。

理解:只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。

注意:引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8…也是偶数,-1,-3,-5…也是奇数。

2. 有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分 正整数 正整数 整数 0 正有理数 负整数 正分数 有理数 有理数 0 (0不能忽视) 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 总结:①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数) ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数 数轴 ⒈数轴的概念 规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。

注意:⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;
⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;
⑶同一数轴上的单位长度要统一;
⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

2.数轴上的点与有理数的关系 ⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如,数轴上的点π不是有理数) 3.利用数轴表示两数大小 ⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;

⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;

⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。

4.数轴上特殊的最大(小)数 ⑴最小的自然数是0,无最大的自然数;

⑵最小的正整数是1,无最大的正整数;

⑶最大的负整数是-1,无最小的负整数 5.a可以表示什么数 ⑴a>0表示a是正数;
反之,a是正数,则a>0;

⑵a<0表示a是负数;
反之,a是负数,则a<0 ⑶a=0表示a是0;
反之,a是0,,则a=0 6.数轴上点的移动规律 根据点的移动,向左移动几个单位长度则减去几,向右移动几个单位长度则加上几,从而得到所需的点的位置。

相反数 ⒈相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。

注意:⑴相反数是成对出现的;
⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负;

⑶0的相反数是它本身;
相反数为本身的数是0。

2.相反数的性质与判定 ⑴任何数都有相反数,且只有一个;

⑵0的相反数是0;

⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a+b=0 3.相反数的几何意义 在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;
互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点;
原点表示0的相反数。

说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。

4.相反数的求法 ⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如:5的相反数是-5);

⑵求多个数的和或差的相反数是,要用括号括起来再添“-”,然后化简(如;
5a+b的相反数是-(5a+b)。化简得-5a-b);

⑶求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,然后化简(如:-5的相反数是-(-5),化简得5) 5.相反数的表示方法 ⑴一般地,数a 的相反数是-a ,其中a是任意有理数,可以是正数、负数或0。

当a>0时,-a<0(正数的相反数是负数) 当a<0时,-a>0(负数的相反数是正数) 当a=0时,-a=0,(0的相反数是0) 6.多重符号的化简 多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略;
“-”号的个数决定最后化简结果;
即:“-”的个数是奇数时,结果为负,“-”的个数是偶数时,结果为正。

绝对值 ⒈绝对值的几何定义 一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作|a|。

2.绝对值的代数定义 ⑴一个正数的绝对值是它本身;

⑵一个负数的绝对值是它的相反数;

⑶0的绝对值是0. 可用字母表示为:
①如果a>0,那么|a|=a;

②如果a<0,那么|a|=-a;

③如果a=0,那么|a|=0。

可归纳为①:a≥0,<═> |a|=a (非负数的绝对值等于本身;
绝对值等于本身的数是非负数。) ②a≤0,<═> |a|=-a (非正数的绝对值等于其相反数;
绝对值等于其相反数的数是非正数。) 3.绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有非负性。所以,a取任何有理数,都有|a|≥0。即⑴0的绝对值是0;
绝对值是0的数是0.即:a=0 <═> |a|=0;

⑵一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0.即:|a|≥0;

⑶任何数的绝对值都不小于原数。即:|a|≥a;

⑷绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若|x|=a(a>0),则x=±a;

⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即:|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|;

⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即:|a|=|b|,则a=b或a=-b;

⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。

(非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0) 4.有理数大小的比较 ⑴利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小;

⑵利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;
异号两数比较大小,正数大于负数。

5.绝对值的化简 ①当a≥0时, |a|=a ;

②当a≤0时, |a|=-a 6.已知一个数的绝对值,求这个数 一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数。

有理数的加减法 1.有理数的加法法则 ⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;

⑵绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;

⑶互为相反数的两数相加,和为零;

⑷一个数与零相加,仍得这个数。

2.有理数加法的运算律 ⑴加法交换律:a+b=b+a ⑵加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律:
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”;

②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”;

③分母相同的数先相加——“同分母结合法”;

④几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”;

⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。

3.加法性质 一个数加正数后的和比原数大;
加负数后的和比原数小;
加0后的和等于原数。即:
⑴当b>0时,a+b>a ⑵当b<0时,a+b<a ⑶当b=0时,a+b=a 4.有理数减法法则 减去一个数,等于加上这个数的相反数。用字母表示为:a-b=a+(-b)。

5.有理数加减法统一成加法的意义 在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算。

在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。如:
(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 和式的读法:①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和” ②按运算意义读作“负8减7减6加5” 6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧:
Ⅰ.把符号相同的加数相结合(同号结合法) (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23) 原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) (将减法转换成加法) =-33+18-15-1+23 (省略加号和括号) =(-33-15-1)+(18+23) (把符号相同的加数相结合) =-49+41 (运用加法法则一进行运算) =-8 (运用加法法则二进行运算) Ⅱ.把和为整数的加数相结合 (凑整法) (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8) 原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) (将减法转换成加法) =6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 (省略加号和括号) =(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 (把和为整数的加数相结合) =4-10+3.8 (运用加法法则进行运算) =7.8-10 (把符号相同的加数相结合,并进行运算) =-2.2 (得出结论) Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合法) --+-+- 原式=(--)+(-+)+(+-) =-1+0- =-1 Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合(先统一后结合) (+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25) 原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1) =+3-3+10-1 =(3-1)+(-3)+10 =2-3+10 =-3+13 =10 Ⅴ.把带分数拆分后再结合(先拆分后结合) -3+10-12+4 原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-) =-1++ =-1++ - Ⅵ.分组结合 2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69 原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69) =0 Ⅶ.先拆项后结合 (1+3+5+7…+99)-(2+4+6+8…+100) 有理数的乘除法 1.有理数的乘法法则 法则一:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;
(“同号得正,异号得负”专指“两数相乘”的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三) 法则二:任何数同0相乘,都得0;

法则三:几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;
负因数的个数是奇数时,积是负数;

法则四:几个数相乘,如果其中有因数为0,则积等于0. 2.倒数 乘积是1的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为a·=1(a≠0),就是说a和互为倒数,即a是的倒数,是a的倒数。

注意:①0没有倒数;

②求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;
求带分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置;

③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。(求一个数的倒数,不改变这个数的性质);

④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。

3.有理数的乘法运算律 ⑴乘法交换律:一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。即ab=ba ⑵乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。即(ab)c=a(bc). ⑶乘法分配律:一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加。即a(b+c)=ab+ac 4.有理数的除法法则 (1)除以一个不等0的数,等于乘以这个数的倒数。

(2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得0 5.有理数的乘除混合运算 (1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果。

(2)有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则按照‘先乘除,后加减’的顺序进行。

有理数的乘方 1.乘方的概念 求n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。在 中,a 叫做底数,n 叫做指数。

2.乘方的性质 (1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂的正数。

(2)正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。

有理数的混合运算 做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序:
1.先乘方,再乘除,最后加减;

2.同级运算,从左到右进行;

3.如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行。

科学记数法 把一个大于10的数表示成 的形式(其中, n是正整数),这种记数法是科学记数法。

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