星形电路与三角形电路等效变换公式的简便方法

摘要：介绍导出星形电路与三角形电路等效变换公式的一种简便方法

关键词：星形电路 三角形电路 等效变换

星形电路与三角形电路间的等效变换（简称Y—△等效变换）是电路分析和计算过程中经常需用到的一种变换。因变换公式推导过程复杂，故在解决有关问题时，人们通常直接套用有关公式。然而，由于变换公式形式比较繁锁，记忆不便，每次计算通常都需查找电路方面的有关书籍，给Y—△等效变换带来了不便。最近有人已进行了一些研究，试图解决这一问题。在本文中，作者提出了一种导出Y—△等效变换公式的简便方法。利用该法，可非常迅速地写出Y—△等效变换公式，给电路的Y—△等效变换带来了方便。

为了说明本文方法，先以电阻电路为例，列写出Y—△等效变换公式。设图1（a）和图1（b）两电路互为等效电路，则两电路的电阻间存在以下关系。

R1= （1）R2= （2）R3= （3） R12= + + （4）R23= + + （5）R31= + +（6）

若星形电路的三个电阻相等，即R1= R2 =R3= RY，则等效的三角形电路有三个电阻也相等，即R12= R23 =R31= R△。将这些关系停薪留职入（1）式和（4）式可得

RY= R△ （7）R△=3RY （8）

以上（1）—（8）式即为Y—△等效变换用到的有关公式。本文提出的导出上述各公式的方法是首先通过对称Y形和△形电路导出（7）、（8）两式，然后根据Y—△等效变换公式的基本形式对（7）、（8）两式进行变化，最后利用电路元件位置的对称性，通过变化了的（7）、（8）两式直接写出（1）—（6）式。下面介绍这一方法。

设图2（a）和图2（b）互为等效电路，从两电路的1端流入的电流均为I，并且该电流分为两等份分别从2、3端流出。因图2（a）和图2（b）互为等效电路，故两电路的1、2端间的电压相等，所以有

RYI+RY• I=R△• I（9） 由此得RY= R△ （10）

这样即导出了（7）式，根据Y—△等效变换公式的基本形式，可将（10）式变为

RY= = （11）

设上式中RY为星形电路1端所接电阻R1，则上式等号右边分子上的两个电阻R△必为三角形电路中相对1端位置成对称关系的两个电阻R12、R31，而分母为三角形电路中的三个电阻，必为R12、R12、R31、，这样由（11）式可导出R1=（12）

以上即为（1）式。用类似的方法可非常方便地导出（2）、（3）两式。

由（9）式可得R△=3 RY(13)

这样即导出了（8）式。根据Y—△等效变换公式的基本形式，可将（13）式变为

R△= RY+ RY+ RY= RY+ RY+（14）

设上式中R△为三角形电路1、2端间所接电阻R12，则上式等号右边的1、2两项及第3项分子上的两个电阻必为星形电路中与1、2端位置成对称关系的两个电阻R2、R2，由于（14）式右边必定会出现R3，因此（14）式右边第3项分母即为R3，这样从（14）式可导出 R12= R1+ R2+ （15）

以上即为（4）式。用类似的方法可导出（5）、（6）两式。这样，就可非常方便地将（1）—（8）式全部导出。

应用这些总结出的导出Y—△等效变换公式的方法，凡在需应用Y—△等效变换公式的时候，无须翻书，也无须对有关公式多加记忆，总能将公式信手写出。在电路理论教学过程中，将此法介绍给学生后，受到了学生的普遍欢迎。这种导出Y—△等效变换公式的方法虽不十分严谨，但解决了Y—△等效变换公式难以记忆的问题，给电路的Y—△等效变换带来了方便，有较大的实用价值，可供人们学习和使用Y—△等效变换方法时参考。