美丽的素数　伟大的证明

2022-03-20 10:01:27 | 浏览次数：

公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得证明素数（也叫质数）的数目是无穷的．2004年，英国剑桥大学数学教授格林和澳大利亚华裔数学家陶哲轩证明：存在任意长度的素数等差数列．他们的发现揭示了素数中存在的某种规律．

在数学家的眼中，素数是美丽的，就像原子之于化学家、DNA之于遗传学家．素数是自然界中全部数的最基本的构成部分．那么究竟什么是素数呢？也许小学三年级的学生就能清楚地回答这个问题：在正整数中，除了1以外，只能被自身和1整除的数就是素数，比如2，3，5，7，11，13，17，….

美丽的素数

1，2，3，…是正整数，其他数如负数、有理数则都是以正整数为基础定义的，所以，研究正整数的规律很重要．由于除1以外的任何一个正整数均可表示为素数或素数的乘积，而且这个表示是唯一的，所以，研究素数的性质非常重要．但是，要想得到一条关于素数的定理是相当不容易的．

陶哲轩和格林所证明的“存在任意长度的素数等差数列”，恰恰揭示了素数中存在的某种规律．

什么是等差数列呢？这是一个古老的数学课题．一个数列（指按照一定次序排列的一连串数，如4，9，25，36，49，…）从第2项起，若后一项减去前一项所得的差都是一个相同的常数，则这个数列就是等差数列．比如，1，3，5是由3个数构成的等差数列，后一项减去前一项所得的差是2；1，3，5，7则是由4个数构成的等差数列，后一项减去前一项所得的差也是2．

由素数构成的等差数列又被称为素数等差数列．比如从5开始，以12为间隔常数，就可以得到数列5，17，29，41，53，65，….但对这个数列来说，只有前5个数是素数，因此，5，17，29，41，53是一个由5个素数构成的等差数列．因为65可以被5和13整除，不是素数，所以这个特定的素数等差数列不可能达到6项．

问题出现了：由其他素数构成的等差数列会更长吗？答案是肯定的．比如，199，409，619，829，1 039，1 249，1 459，1 669，1 879，2 089就是由10个素数构成的间隔常数为210的等差数列．

事实上，数学家们一直猜想，由素数构成的等差数列可以任意长．这个猜想已经提出很久了，以至于没有人知道它最初是由谁提出来的．但是，在2004年以前，从来没有数学家能够证明这个猜想．

永不消失的素数

到目前为止，已经明确找出了由23个素数构成的等差数列，而且这还是通过当今世界上最先进的计算机找到的．这个数列的第一个数是56 211 383 760 397，数之间的间隔常数为44 546 738 095 860，数列的最后一个数是56 211 383 760 397 ＋ 44 546 738 095 860 × 22．仅仅看这些素数的大小，就知道找到它们是多么不容易了．

随着自然数数值的增加，素数的分布变得越来越稀疏，因而要寻找这样的素数等差数列就越来越困难．但是，素数是永远不会彻底消失的，素数有无穷多个．

尽管在正整数中，素数看起来是以一种无规律的方式出现的，但在19世纪末，法国数学家哈达玛达和比利时数学家法勒布赛曾指明：一种隐藏的规则存在于素数逐渐稀疏的背后．换言之，在看似混乱无序的素数中，一定存在着某种规律．

伟大的证明

有关素数等差数列猜想的第一个真正意义上的进展出现在1939年．当时，荷兰的一位数学家证明：有无穷多个由3个素数构成的等差数列．

后来，著名数学家布朗证明，由前面3个素数和后面不超过2个素数的乘积构成的4个数的等差数列有无穷多个．

1975年，匈牙利数学家施米列迪证明了一个定理．简单地解释，这个定理的意思就是在任何不会快速稀疏的无穷的整数数列中，肯定会有任意长度的等差数列．但施米列迪定理不适合于素数，因为，随着自然数数值的增加，素数会突然变得稀疏．

2002年，陶哲轩和格林这两位数学家开始着手证明：有无穷多个由4个素数构成的等差数列．为了证明这个问题，他们用了两年多时间分析施米列迪定理的4个完整证明．

陶哲轩说：“我们研究施米列迪定理并努力改进它，以便使它能解决素数的问题．为了实现这个目标，我们借用这4个证明方法来建造一个施米列迪定理的扩展版．每次当格林和我陷入困境时，其中某个证明方法的思想总能帮助我们解决问题．”

两年后，格林和陶哲轩用一个非常漂亮的方法解决了问题，结果实在惊人．2004年4月18日，两人宣布他们证明了“存在任意长度的素数等差数列”，也就是说，对于任意值k，存在由k个素数组成的等差数列．例如k ＝ 3，有素数数列3，5，7（间隔常数为2）；k ＝ 10，有素数数列199，409，619，829，1 039，1 249，1 459，1 669，1 879，2 089（间隔常数为210）．当然，对于比较大的k值，尽管现在还没有具体找出相应的素数数列，但现在可以肯定地说，这样的数列一定存在．

这是一项伟大的成就，他们的证明立即在国际学术界引起轰动．随后出版的美国《科学》杂志评论说：“两位数学家用数论中一个令人眩晕的突破解决了一个难题．”

美国《发现》杂志则将格林和陶哲轩在素数方面的研究评为2004年100项最重要的发现之一．

中国数学家王元在评价他们的成就时，由衷地赞叹道：“我一生都在研究数论，我不敢想象天下会有这样伟大的成就！”

2006年8月22日，在第25届国际数学家大会上，为了表彰陶哲轩的杰出贡献，大会决定颁发给陶哲轩和其他三位年轻数学家有“数学界的诺贝尔奖”之称的国际数学界最高奖——菲尔茨奖．

【责任编辑：潘彦坤】

摆线

摆线是数学中众多的迷人曲线之一．它是这样定义的：一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆周上一固定点所描出的轨迹称为摆线．

摆线最早可见于公元1501年出版的C.鲍威尔的一本书中．17世纪，大批卓越的科学家（如伽利略、帕斯卡、托里拆利、笛卡儿、费马、瓦里斯、约翰·伯努里、莱布尼茨、牛顿等）热心于研究这一曲线的性质．经过大家的努力，人们发现摆线具有如下性质：

1．摆线一拱的长度等于旋转圆直径的4倍．尤为令人感兴趣的是，它的长度是一个不依赖于π的有理数．

2．摆线一拱的弧线下的面积，是旋转圆面积的3倍．

3．圆上描出摆线的那个点，具有不同的速度．

4．当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时，它们会同时到达底部．