再谈2015年北京高考理科数学压轴题与“数学黑洞”问题

2022-03-19 13:49:18 | 浏览次数：

【摘要】甘志国先生在文献[1]中指出2015年北京高考理科数学压轴题的命题背景是一类“数学黑洞”问题，并且作为对2015年压轴题的推广，在文末提出了一个猜想. 本文中我们指出这个猜想在一般情况下不成立，然后借助初等数论欧拉定理等知识给出该猜想成立的一个充分条件和严格证明.

【关键词】高考数学；欧拉定理；原根；循环轨道；数学黑洞

1 “数学黑洞”的概念与相关例题

已知定义在有限集合S={a1，a2，…，an}到自身的映射σ：S→S，如果对于集合S的某个非空真子集S0={b1，b2，，…，bm}S满足σ（bi）=bi+1， 1≤i

我们指出，很多“数学黑洞”型问题在离散动力系统理论、组合图论和数论的研究中有重要意义. 事实上，近年来很多高考数学题和竞赛题目往往有着深刻的高等数学背景，例如2010年北京高考数学压轴题背景是通信技术中的纠错码理论[3]，2014年北京高考数学压轴题背景是多工序流水线时间最优化问题[5]，这些数学题目新颖大气，数学思想丰富，有效地扩展了广大考生的数学视野.

文献[1]中，甘志国先生指出2015年北京高考理科数学压轴题的命题背景就是一种“数学黑洞”型问题，为方便读者我们将问题陈述如下：

问题1（2015年北京卷理科第20题）已知数列{an}满足：a1∈[WTHZ]N[WTBX]*且a1≤36，

从而a1=1 时，|M|=8.

容易知道，当迭代的起点a1为奇数时，M={an[JB（|]n∈[WTHZ]N[WTBX]*[JB）]}中元素个数才可能有最大值.

① 当a1为奇数，且不是3的倍数时，a3，a4，…都是4的倍数且不是3的倍数，a3，a4，…只能在{4， 8， 16， 32， 28， 20}中取值，此时|M|中最多有8个元素.

② 当a1为奇数，且是3的倍数时，a3，a4，…都是12的倍数，a3，a4，…只能在{12， 24， 36}中取值，此时|M|中最多有5个元素.

综上，M={an[JB（|]n∈[WTHZ]N[WTBX]*[JB）]}中元素个数最大值为8. 证毕.

说明我们将在本文第二节说明循环轨道的长度与初等数论中的欧拉定理相关，并严格证明问题一的一种推广形式.“数学黑洞”型问题及其解题思想在近年来的高考和数学竞赛中时有出现，我们再试举一例：

问题2（2015年北京高中数学知识应用竞赛决赛第五题）有一种叫做“严格对插洗牌”的扑克牌洗牌方法，每洗一次牌（牌的张数是偶数））即是完成如下两步操作：

①将这叠牌（2n 张）的前 n 张分为第一组，后 n 张为第二组；

②从两组中按顺序依次交替摸牌，直至摸完为止，依照摸出的顺序将牌排成一排.比如，对于A、2、3、4、5、6这6张牌，并依此顺序从左到右排成一排，第一次严格对插洗牌之后的牌序变为A、4、2、5、3、6.问题：

（1）对于顺序为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的10张牌，经过2017次严格对插洗牌之后，第5张是什么牌？标记为9的牌在哪个位置？