缘于两道“形同质异”光学题的教学反思

摘要：学生容易根据已有的认知形成思维定势。因此须对学生的学习方法进行指导，其中加强一题多变，一题多解，努力培养学生发散思维是教师应有的教学思考。

关键词：折射；全反射；运动分解

中图分类号：G633.7 文献标识码：A文章编号：1003-6148(2008)3(S)-0046-2

以下四道题是从高二强化班使用的几份练习中归纳整理出来的。在此过程中笔者发现学生的解答中有一个共同性错误，在此整理出来，与大家共同交流。

题1 用折射率为n的透明物质做成内外半径分别为a、b的空心球壳，如图1所示。不考虑透明物体的吸收和外表面的反射，内表面涂有完全能吸收光的物质。有一束平行光射向此球，则能被内表面吸收的光束在射进表面前的横截面积是多大？



析与解 先求射到外表面的光刚好被内表全部吸收的内半径的临界值a0，此时入射角为90°，如图2所示，则有sinγ=1/n，又因为sinγ=a0/b，所以a0=b/n。

显然当a≥a0=b/n时，所有射到外表面的光将全部被内表面吸收，所求面积是S=πb2。

当a≤a0=b/n时，所有射到外表面的光只有一部分被吸收，如图3所示，所求的面积是

S=πR2。

因为R=bsini，sini=nsinγ，

而sinγ=a/b，所以S=πR2=n2πa2。

因此本题应该有上面两种情形解。

学生练习分析 （1）这是一道光的折射和全反射临界问题的综合题，题目起点不高，知识点较为清楚，略加分析就知道怎样求解，所以绝大多数同学都能做。但有近一半同学，没有对a、b、n之间的关系进行讨论，只有一个结果S=n2πa2（好多复习资料上也只有这一解）。这说明这部分同学全面考虑问题的能力尚欠缺，有待提高。（2）有少数同学没有牢记几何光学的重要学习方法之一是要作光路图，无法作出此题。因此掌握学习方法尤为重要。

题2 如图4所示，用折射率为n的透明介质做成内、外半径分别为a和b的空心球，当一束平行光射向此球壳，经球壳外、内表面两次折射，而能进入空心球壳的入射平行光束的横截面积是多大？

析与解 根据对称性可知所求光束的横截面应是一个圆，而关键在于求出此圆的半径R。

如图4所示，设入射光线AB为所求光束的临界光线，即光线EF与内表面相切。若入射角为i，经球壳外表面折射后折射角为γ。因为AB为临界入射线，所以射向内表面的光线的入射角应正好等于临界角C。在△OEB中，由正弦定理得

asinγ=bsin(180°-C)=bsinC。

由于sinC=1n，n=sinisinγ，

所以b=asini。

由几何关系可得

R=bsini=a，

故所求平行光束的横截面积为

S=πR2=πa2。

学生练习分析 题2与题1由于图形完全相同，学生拿到题2很容易联想到题1，甚至很快就按照题1的解题思路作出入射光线在外球壳的折射光线与内圆面相切，求得结果S=n2πa2。根据统计，班上57人，有50人是这样做的。这就反映了学生很容易根据已有的知识形成思维定势。其实此题与题1形同而实质不同，审题必须仔细。不难发现该题中有关键词“经球壳内外表面两次折射”，使得该题与题1发生了实质性变化。另外有些学生即使画出了正确的光路图，找到了临界条件，但想不到应用正弦定理求解，还是无法求出结果。

教学反思 （1）加强学法指导，如几何光学严格作光路图；临界问题的分析方法等，可谓授人以鱼，不如授人以渔。（2）克服思维定势和培养学生发散思维的有效方法之一是一题多变，一题多解法。这就要求教师要有较强的教学基本功和归纳能力，能把这些相似的题目归在一起，有意识让学生辨析地去练习。（3）教学中要注意提高学生应用数学解决问题的能力，如第2题有学生作出了光路图，但想不到正弦定理。

题3 如图5所示，一块折射率为n、长为L的光导纤维，若从左端面射入的光在透明体中恰能发生全反射，则经过多次全反射由左端到右端，所需的时间为多少？



析与解 全反射条件是入射角大于等于临界角。题中给出条件是恰好全反射，即α=ic（临界角）。光在光纤中传播速度v=c/n，将v分解为沿光纤方向上的速度vx=vsinα=c/n2所以传播时间t=L/vx=n2L/c。

学生练习分析 这是一道把全反射知识和光导纤维联系在一起的实际应用题，问题关键是有一部分学生不能灵活应用运动的分解，这是造成不能求解的根本原因。

题4 如图7所示是一根长为L的医用光导纤维的示意图，该光导纤维所用材料的折射率为n(n>2)。一细束单色光从左端面上的中心点入射，经光导纤维内部侧面的多次反射从右端射出。由于此单色光的入射角i是可调的，所以光束通过该光导纤维所用时间各不相同。真空中的光速为c，那么该光束通过这条光导纤维所用的最短时间和最长时间分别是多少？



学生练习分析 题中最短时间易得是垂直左端而进入光导纤维，光的传播方向不变，需时tmin=nL/c。关键是最长时间的求解。典型的错误是最长时间与题3中相同，即tmax=n2L/c。造成错误的原因是没有仔细分析出题中所给条件，而是凭借题3中已获得的经验解题，忽视了过程分析。这是典型的思维定势。如图7所示，本题中

vx=vsinα=cncosγ

=cn1-sin2γ

=cn2n2-sin2i。

当i=90°时vx达最小，为：

vxmin=cn2n2-1，

因此tmax=n2Lcn2-1，

而不是tmax=n2L/c。

教学反思 学生在不同的练习中，遇到这样题面相似的题目出错率比较高，这与我们的教学有直接的关系。客观上新课程受学时和学生的认知水平的限制，不可能拓展的太多，并且教师也不可能穷尽各种类型的题目。如何才能提高课堂教学质量呢？

首先，教师必须使学生养成良好的学习习惯，掌握分析问题的方法，培养学生分析问题的能力，而不是靠题海战术。其次，我们应该改变传统教学观念，把课堂时间还给学生，教师少讲，学生多探，真正体现教师主导和学生主体作用的现代教学模式。再次，教师备课也应该充实，应该积极研究高考，密切关注新课程改革，不断学习更新旧有知识结构，善于归纳、总结、反思和积累。

(栏目编辑陈 洁)

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。