关于自由度定义的讨论

2022-03-09 08:18:16 | 浏览次数：

【摘要】本文从分析力学角度，对大学物理教学中的一个重要概念自由度进行了讨论。

【关键词】分析力学；自由度；约束；教学

0 引言

在大学物理的教学中，“自由度”是一个重要的概念。由于物理学专业课的设置中并没有分析力学，仅在理论力学中做了简单介绍，学生对分析力学的一些概念比较模糊，造成对自由度的理解并不全面，甚至错误。自由度的准确定义为：“系统广义坐标的独立变分的数目[1]”，或者“质系独立虚位移的数目[2]”。本文将在介绍一些必要的分析力学概念的基础上，讨论力学系统的自由度判定，以期能在大学物理教学中起到帮助作用。

1 完整约束和非完整约束

约束指事先加在系统点的位置和速度上的，几何的或者运动学特性的限制。受到约束的系统称为非自由系统，不受约束的系统称为自由系统。按照约束的特征可将约束分为完整约束和非完整约束，定常约束与非定常约束等。这里我们仅讨论完整约束与非完整约束。

几何约束和可积分的微分约束称为完整约束，不可积分的微分约束为非完整约束。受完整约束的系统称为完整力学系统，受非完整约束的系统称为非完整力学系统。

2 广义坐标和虚位移

广义坐标通常用qj表示，指确定系统位形的独立参量。广义坐标比笛卡尔直角坐标更广泛，因为直角坐标在确定系统的位形时，坐标之间存在约束关系，不是独立的。

虚位移指在给定的时刻为加在点上的约束所允许的所有假想的无限小位移。如果点的矢径记作ri，则虚位移记作δri或者δxiδyiδzi。有时广义坐标的变分δqi也叫做虚位移。

从广义坐标的定义知道广义坐标是相互独立的，但是其变分却不一定独立，与其所受约束有关，这一点最早由Hertz发现，因此约束和力学系统分为了完整和非完整两类。

3 力学系统自由度

3.1 完整系统的自由度

由此可得，对于非完整约束系统，独立广义坐标的个数与独立广义坐标变分的个数不相等。在判定非完整系统自由度的时候只能由其独立变分个数确定。

4 总结

大学物理中自由度是一个经常遇到的概念。本文通过介绍完整约束和非完整约束、广义坐标、虚位移等分析力学基本概念，明晰了约束通过对系统质点位置和速度的限制，从而使系统的自由度变化，并进一步明确了自由度的定义。希望在教学中对于学生对自由度的认识有所帮助。