基于排队论的高速公路ETC收费站车道配置模型

2022-03-05 08:24:07 | 浏览次数：

摘要：为了确定在一定的交通量和ETC技术使用率下ETC车道的最佳开启数量，基于排队理论，针对我国高速公路ETC收费站人工收费车道和ETC车道将长期并存的现状，建立了此种收费站的排队模型，并提出以系统中车辆逗留时间最短为目标的ETC收费站车道配置模型，最后通过实例验证了此模型。结果表明，一个六通道的高速公路收费站，在交通量为2400辆/h、ETC技术使用率为40%的条件下，ETC车道的最佳开启数量为2个。以此模型可确定任意交通量和ETC技术使用率下ETC车道的最佳开启数量。

关键词：排队论；ETC；车道配置模型

排队论是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法。在高速公路上，车辆不断地到达收费站，然后排队等候，依次完成缴费，最后离开收费站。如果到达的车辆在系统中不能快速完成缴费，就产生了排队现象，所以说高速公路收费站是一个典型的排队系统。因此可以依据排隊论建立收费站排队模型然后得出其运行特征，并以此为设置ETC收费站车道数提供重要的理论依据。

由于我国汽车保有量的激增，高速公路人工方式收费已不能完全满足出行者的需要，电子不停车收费系统（ETC）由于可以有效缓解因缴费造成的延误而成为主要趋势。欧美、日本等发达国家在ETC技术和管理方面已比较成熟，国内也已基本实现ETC联网收费，一些发达省份的ETC覆盖率也已达到较高水平，如北京96.68%，江苏82.28%。同时也应注意到国内外道路交通状况差别较大，收费站分布和数量差别很大，所以不能照搬国外模式。目前国内ETC收费站是同时具有ETC车道和人工收费车道的收费站，而且两者将长期并存。ETC收费站的通行能力直接受ETC车道数量的影响，若ETC车道开启数量较少而ETC使用率较高时，ETC车道车辆等待服务时间增长，排队成本增加。若 ETC 车道开启数量较多而ETC使用率较低时，致使人工收费车道辆等待服务时间增长，排队成本增加。因此在一定的ETC技术使用率和交通量下ETC车道和人工收費车道如何配置显得极其重要。

刘维维等人基于排队理论，建立了高速公路收费站收费车道数目设计的排队论模型[3]。代士磊通过比较高速公路 ETC 和人工收费方式下的车辆延误，得出在车流量很大的情况下，高速公路收费站采用 ETC 方式能够有效减少车辆延误[4]。宋丽晓在研究中以M/M/1 模型为例，建立了在一定ETC技术使用率下以收费系统总费用最小为目标的模型[5]。杨政文等人基于成本分析进行了收费站 ETC 车道开启数量研究，通过研究运营成本和排队成本提出了 ETC 开启数量优化模型[6]。

然而以上研究具有一定的局限性，如在高速公路收费站中收费通道都是大于1的，且出行时间对于出行者显得尤为重要，出行时间的减少也就意味着成本的减少。因此，本文在通过排队论分析ETC收费站车辆排队缴费的基础上，以系统车辆逗留时间最短为目标建立了多通道ETC收费站车道配置模型，并通过实例验证，得出在一定的交通量和ETC技术使用率下ETC车道的最佳开启数量。

1 排队系统概述

1.1 排队系统的组成部分

排队系统一般包括三个部分，输入过程、排队规则和服务方式。

1.1.1输入过程

输入过程是指各种类型的顾客按怎样的规律到来。常见的有如下几种服务过程：

（1）定长输入——顾客等时距到达。

（2）泊松输入——顾客到达符合泊松分布或顾客到达时距符合负指数分布。

（3）爱尔朗输入——顾客到达时距符合爱尔朗分布。

对于收费站系统，车辆以泊松分布到达。

1.1.2排队规则

排队规则指到达的顾客按怎样的次序接受服务。常见的有以下几种排队规则：

（1）损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来。

（2）等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，它们就排成队伍，等待服务。服务次序有先到先服务（这是最通常的情形）和优先服务（如急救车、消防车等）和随机服务等多种规则。

（3）混合制：顾客到达时，若队长小于某一定值L，就排入队伍等候；若队长等于L，顾客就离去，永不再来。

对于收费站系统，排队规则为等待制。

1.1.3服务方式

服务方式指同一时刻有多少服务台可接纳顾客，为每一顾客服务了多少时间。服务时间的分布主要有以下几种：

（1）定长分布服务——每一顾客的服务时间都相等。

（2）负指数分布服务——各顾客的服务时间相互独立，服从相同的负指数分布。

（3）爱尔朗分布服务——各顾客的服务时间相互独立，服从相同的爱尔朗分布。

对于收费站系统，服务方式服从负指数分布。

1.2 排队模型的分类

用Kendall符号来表示排队模型，形如X/Y/Z/A/B/C，其中X处填写相继到达间隔时间分布，Y处填写服务时间分布，Z处填写服务台数目，A处填写系统容量限制，B处填写顾客源数目，C处填写服务规则。引入下列记号，M代表泊松输入或负指数分布服务，Ek代表爱尔朗分布，G代表一般服务时间分布，FCFS代表先到先服务。每种模型都可以根据Kendall符号表示出来。

1.3 排队系统的数量指标

排队系统的主要数量指标如下：

（1）系统空闲概率P（0）：系统处于没有顾客来到要求服务的概率；

（2）队长：系统中排队等待服务和正在服务的顾客总数，其平均值记为Ls；

（3）排队长：系统中排队等待服务的顾客数，其平均值记为Lq；

（4）逗留时间：一个顾客在系统中的停留时间，包括等待和服务时间，其平均值记为Ws；

（5）等待时间：一个顾客在系统中排队等待时间，其平均值记为Wq。

2 ETC收费站排队模型

对于高速公路收费站系统，一般为N个服务台，即多通道服务系统。根据排队理论，可以表示为车辆以泊松分布到达、负指数分布服务、N个服务台（收费台）、排队不受限制、无限源、先到先服务的模式，即M/M/N/∞/∞/FCFS模式。根据排队方式不同多通道服务系统可分为单路排队多通道服务和多路排队多通道服务，而多路排队多通道服务相当于是N个M/M/1/∞/∞/FCFS模式。已证明在相同通道数目条件下，单路排队多通道服务比多路排队多通道服务优越，原因在于，N个平行的M/M/1系统表面上到达车流被分散，但实际上受排队车道与服务通道一一对应的限制，而M/M/N系统较为灵活，排在第一位的车辆可视哪个服务台有空就到哪个服务台，避免了各服务台忙闲不均的情形，充分发挥了服务能力，因而显得优越[1]。所以目前高速公路收费站都采用单路排队多通道服务模式。

高速公路收费站排队系统的运行效率通常用以下指标衡量：

（1）队长：系统中的车辆数，记为Ls；

（2）排隊长：指排队等候服务的车辆数，计为Lq；

（3）逗留时间：一辆汽车在系统中的逗留时间，它的期望值记为Ws；

（4）等候时间：一辆汽车排队等候的时间，它的期望值记为Wq。

设车辆平均到达率为，平均服务率为，则平均服务时间为，比率称为系统的服务强度或利用系数。若（即），系统稳定；若，排队长度会越来越长，系统是不稳定的。因此要保证稳定状态即确保单通道排队能够消散的条件是。

ETC收费站人工收费方式与ETC方式将并存，用a代表ETC收费方式，b代表人工收费方式，假设总共有N个车道。我们可以把ETC收费站车辆排队问题看作两个M /M /N/∞/∞/FCFS排队模型来处理，为了更好地讨论ETC收费站车辆排队系统模型，定义如下符号：

表示ETC的技术使用率（即装有OBU车辆的比例），；

Na表示收费站ETC收费方式的车道数；

Nb表示收费站人工收费方式的车道数，且N=Na+Nb；

λ表示收费站车辆到达率，也即交通量；

ua表示收费站ETC收费方式的服务率；

ub表示收费站人工收费方式的服务率；

ρa表示收費站ETC收费方式的服务强度；

ρb表示收费站人工收费方式的服务强度；

Lqa表示收费站ETC收费方式排队等候的车辆数；

Lqb表示收费站人工收费方式排队等候的车辆数；

Lsa表示收费站ETC收费方式系统中的车辆数；

Lsb表示收费站人工收费方式系统中的车辆数；

Wqa表示收费站ETC收费方式等候时间；

Wqb表示收费站人工收费方式等候时间；

Wsa表示车辆在收费站采用ETC收费方式缴费所逗留的时间；

Wsb表示车辆在收费站采用人工收费方式缴费所逗留的时间。

依据排队理论，则：

3 车道配置模型及其求解

3.1 建立模型

基于上述排队模型，建立以系统车辆逗留时间最短为目标的ETC收费站车道配置模型。

minZ=Wsa+Wsb （13）

N=Na+Nb，其中Na，Nb为整数（14）

这是一个与收费站ETC车道数Na和人工收费车道数Nb有关的非线性函数。因此可认为在允许Na和Nb的范围内，存在某一确定的Na和Nb值使得系统中车辆逗留时间最短。

3.2 模型求解

本文所建立的ETC收费站车道配置模型属于带约束的非线性整数规划模型。在已知车道数 N和ETC技术使用率β的前提下，根据车辆到达率λ、ETC方式服务率ua、收费站人工收费方式服务率ub，对Na依次取1，2，3…N-1，根据式（1）…（12）最终求得ETC 车道内的车辆逗留时间Wsa和人工收费车道内车辆的平均逗留时间Wsb，将所有参数代入已建立Z的函数式（13）中，即可求得开启不同 ETC 车道数量下对应的逗留时间，通过对比找出最短逗留时间，与之对应的即为该交通量下 ETC 车道最优开启数量。

4 实例分析

4.1 参数设定

某高速公路的收费站有6个收费车道，ETC技术使用率β为40%。利用上述模型来获取最优的车道配置方案.假设车辆达到率为2400辆/h。收费站ETC收费方式的服务率为1200辆/车道/h，人工收费方式的服务率为400辆/车道/h。

4.2 计算结果

N=6时，根据上述公式，Na依次取1，2，3，4，5，求得不同车道配置下车辆逗留时间。收费站在该交通量及ETC技术使用率下开启2条ETC 车道时，能够使收费站车辆逗留时间达到最短。结果如表1所示。

表1 不同车道配置对应的车辆逗留时间

Na12345

Z（s）27.009.049.7126.7347.01

同理，可以通过计算得到在不同交通量和ETC技术使用率下所对应的使系统中车辆逗留时间最短的车道配置。

5 研究结论

（1）基于排队论原理分析了高速公路ETC收费站车辆排队模型，为建立ETC收费站车道配置模型提供了理论基础。

（2）以使系统中车辆逗留时间最短为目标建立ETC收费站车道配置模型，进行实例验证，结果表明：一个六通道的高速公路收费站，在交通量为2400辆/h、ETC技术使用率为40%的条件下，ETC车道的最佳开启数量为2个。