级数收敛性的判别法

【摘要】本文主要給出了数学分析中级数收敛性的判别法，并且说明了这些方法的不同之处。

【关键词】级数 正项级数 交错级数

【中图分类号】O151.21【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）26-0139-01

在数学分析学习中，对于级数收敛性的判别法，数学家们提出了比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔法等来解决级数收敛性问题，本文给出几个常见的级数收敛的判别方法。

1.几个基本概念和基本定理

设有数列{un}，即

u1，u2，u3…，…，un… （1）

将数列（1）的项依次用加号连接起来，即

u1+u2+u3…+un+… 或 un， （2）

称为数项级数，简称级数，其中un称为级数（2）的第n项或通项。

定理1.1 正项级数 un收敛？圳它的部分和数列{Sn}有上界。

定理1.2（比较判别法）有两个正项级数 un与 vn，且？埚N∈N+，？坌n≥N，有un≤cvn，c是正常数。

（1）若级数 vn收敛，则级数 un也收敛；

（2）若级数 un发散，则级数 vn也发散。

证明：根据收敛级数的性质，去掉、增添或改变级数 un的有限性，不改变级数 un的敛散性。因此，不妨设？坌n∈N+，有un≤cvn。

设级数 un与 vn的n项部分和分别是A与B，由上述不等式，有

An=u1+u2+…+un≤cv1+cv2+…+cvn=c（v1+v2+…+vn）=cBn.

（1）若级数 vn收敛，根据定理1.1有，数列{Bn}有上界，从而数列{An}也有上界，级数 un收敛。

（2）若级数 un发散，根据定理1.1有，数列{An}无上界，从而数列{Bn}也无上界，级数 vn发散。

2.交错级数判别法

下面将对交错级数收敛性的判别法同样进行叙述。若级数 un既有无限多项正数，又有无限多项负数，则称此级数 un是变号级数。特别地，级数的项依次是正数和负数相间，即

u1-u2+u3-u4+…+u2k-1-u2k+… （un>0），

称为交错级数. 判别交错级数的收敛性有以下判别法：

定理2.1 （莱布尼兹判别法）有交错级数 （-1）n-1un（un>0）. 若

（1）？坌n∈N+，有un≥un+1；（2） un=0.

则交错级数 （-1）n-1un收敛，且|rn|=|S-Sn|

其中S，Sn与rn分别是交错级数 （-1）n-1un的和、n项部分和和余和。

定理2.2（狄利克雷判别法）若级数 anbn满足下列条件：

（1）数列{an}单调减少，且 an=0；

（2）级数 bn的部分和数列{Bn}有界，即？埚M>0，？坌n∈N+，有

|Bn|=|b1+b2+…+bn|≤M. 则级数 anbn收敛。

对于交错级数收敛性来说，除了上面叙述的这两种方法，还有阿贝尔判法。

定理2.3 （阿贝尔判别法） 若级数 anbn满足下列条件：

（1）数列{an}有界； （2）级数 bn收敛，则级数 anbn收敛。

参考文献：

[1]刘玉琏.数学分析讲义[M].5版.北京：高等教育出版社.2008.