线性规划在制定企业生产计划中的应用
摘 要：本文旨在针对有限的人力、时间和原材料等资源条件的约束下，使用线性规划模型来制定生产计划以实现企业利润最大化，同时利用软件LINGO 8.0求解线性规划模型并分析在各类所需资源变动下对该模型所产生的影响并寻找最优生产方案。
关键词：生产计划；数学模型；线性规划；LINGO8.0
中图分类号：F224 文献标识码：A 文章编号：1006-4117（2012）02-0052-02
线性规划（Linear Programming）无论从理论和方法的成熟性，还是从运用的广泛性，都是运筹学中极具有应用价值的一个重要分支。它在农业、工业、服务业、军事、运输和计划管理等多方面都越来越受重视、越来越得到广泛的运用。随着高科技电子计算机的求解软件的不断发展，专门用来解决线性规划问题的LINGO软件已经可以解决成千上万个约束条件和变量大规模复杂问题，该软件的出现使得解决线性规划问题已变得得心应手。线性规划方法是研究在有限的原材料、人力、时间、资金、设备等资源条件下，如何进行资源的优化配置和最佳生产计划，使企业达到最好的经济效益（利润最大、产量最多、效用最高）。下面将应用线性规划法对企业如何制定产品生产计划的问题进行深入的探讨。
一、线性规划的模型
线性规划模型的建立需要以下两个条件：一是最优目标。问题需要完成的目标可以用线性函数来描述并能够使用最大值或最小值来进行表示；二是约束条件。这些限制条件可以用决策变量的线性方程组或线性不等式来表示，为达到目标函数的最佳值提供限制约束。通常线性规划的数学模型一般可以表示成如下所示：
其中式（1）称为目标函数，式（2）称为约束条件。在线性规划模型中称Z为目标函数；称xj(j=1,2,…,n)为决策变量；称cj(j=1,2,…,n)为目标函数系数或价值系数；称bj(j=1,2,…,m)为资源约束常数或简称右端项；称aij(j=1,2,…,m;j=1,2,…,n)为约束系数或技术系数。
二、线性规划在企业中的应用
为了研究线性规划模型在企业中的应用，接下来以某工厂生产计划为例建立线性规划模型以及应用软件LINGO进行求解并采用灵敏度分析模型结果。
（一）实例描述
某工厂计划安排生产甲、乙两种产品，生产这两种产品需要消耗电力、煤炭和劳动力三种资源。已知该工厂可利用电力有200kw，煤炭360t,工时有300小时，每生产一千克产品消耗资源量和能所获得的利润见下表1。
问：如何安排甲、乙两种产品的产量才能使工厂获利最大？
（二）模型的分析与建模
由题意可得该问题是典型的线性规划问题，我们用 ， 分别表示用于生产甲、乙产品的产量即为决策变量，建立的线性规划数学模型如下所示：
利润最大： max Z=7X1+12X2
电力约束：4X1+5X2≤200
煤炭约束：9X1+4X2≤360
工时约束：3X1+10X2≤300
非负约束：X1≥0; X2≥0
（三）模型的求解
利用线性规划软件LINGO8.0在该编程区域中编写语言建立模型并求解如下图所示:
model:
max =7*x1+12*x2;
4*x1+5*x2<=200;
9*x1+4*x2<=360;
3*x1+10*x2<=300;
x1>=0; x2>=0:
end
程序编程完之后，选择LINGO菜单中Solve选项，即可得到如下所示结果：
报告说明：运行1步即找到全局最优解，目标函数最大值为428，变量值x1=20,x2=24.
“Reduced Cost”的意思是缩减成本系数（最优解中变量的此值自动为零），“Row”是结果模型的行号，“Slack or Surplus”的含义为松弛或剩余，也就是限制条件左右两边的差值，对于报告中“<=”不等式右边减左边差值称为Slack（松弛）；对于模型报告中“>=”不等式，左边减右边的差值称为Surplus（剩余）。“Dual Price”的含义是影子价格，上面结果报告中Row2的松弛值为0，说明第二行的电力约束条件已达到最大用电能力已为饱和状态（200kw）,影子价格为1.36百元，意思是说：电能若每增加1kw，目标函数利润便增加1.36百元；报告中Row3的松弛值为84，这表明按照最优解（x2=24）安排生产则第三行的煤炭约束条件的最大煤炭提供能力为360t剩余了84t，因此增加该生产线的最大煤炭提供能力对目标函数的最优值不起作用，故影子价格为0；报告中Row4的工时约束已达到最大用时能力已为饱和状态（300h）,影子价格为0.52百元表明工时能力每增加1h，利润将增加52元。
（四）灵敏度分析
在应用灵敏度分析时，必须要激活灵敏度计算功能才能计算灵敏度值，因此必须通过先选择Lingo菜单的Options命令，然后再選择General Solve中的Dual Computations列表框选择Price and Ranges选项并确定，最后再选择Lingo菜单的Range命令生成的灵敏度分析报告结果如下：
上面报告说明：第一部分报告结果标题是目标函数系数的变化范围，对于变量x1目标函数系数允许下调范围为3.4，允许上调范围为2.6，因此只要变量x1目标函数的系数在3.6~9.6范围内变化时，最优解（x1=20，x2=24）保持不变；变量x2的目标函数系数允许下调范围为3.25，允许上调范围为11.33，因此只要变量x2目标函数的系数保持在8.75~23.33范围内时，最优解仍不变。这说明当甲、乙两种产品销售价格在以上范围内变化时，工厂的生产计划不需要改变，即改变生产计划不能增加工厂的利润。
报告第二部分的标题是约束条件右边常数的变化范围，只要电力、煤炭、工时约束最右边常数在150kw<=b电力<=226.923kw或b煤炭>=276t或227.59h<=b工时<=400h范围内变化时，影子价格和缩减成本系数均不变。
三、结论
在企业制定生产计划时，线性规划已成为企业生产经营过程中决策制定的的理论依据，生产计划安排是否合理将直接影响到企业的经济效益。本文主要介绍了线性规划的基本理论以及如何建立线性规划模型，通过对典型案例的分析与建模，运用线性规划lingo软件进行模型求解分析，并阐述了此软件对线性规划中目标函数系数及约束条件右边常数的变化对分析造成的影响。应用线性规划并配合相关解决此规划的软件进行计算方便易行，为以后再解决分析线性规划如何在企业中安排生产计划决策问题时提供了有力的科学依据和方法，具有较大的应用价值和借鉴意义。
作者单位：安徽工业大学管理科学与工程学院
作者简介：方利（1984- ），男，安徽亳州人，安徽工业大学管理科学与工程学院2010级研究生。研究方向：工业工程，研究课题 “大型钢铁企业产品结构优化模型”。
参考文献：
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