普惠性：小学数学思想方法的价值叩问与实践思考

朱宇：中学高级教师，江苏省特级教师。以“生命取向”和“学生立场”的专业发展价值观，致力于优质化数学教学的研究，在市内外进行公开示范教学近百场，参加各种教学竞赛获奖20多次。主持了“小学生数学反思能力培养”等5项省级科研课题研究，逐渐形成了“基于学习者反思，实践优质化教学”的教学主张，在《小学数学教与学》、《教学与管理》等省级以上刊物发表论文100多篇。

《数学课程标准》 （2011版）指出：“数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，体现基础性、普及性和发展性。”“义务教育阶段的数学课程要面向全体学生……通过有效的措施，使学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，得到必要的数学思维训练，获得广泛的数学活动经验。”

显而易见，作为一个面向全体学生，并让每个学生都能持续受惠的义务教育核心课程标准， 《数学课程标准（修改稿）》在继续强调“基础知识”“基本技能”的同时，提出了让学生理解和掌握“基本的数学思想方法”的课程理念。从这个意义上讲，在小学数学教学中，思想方法的感悟和理解是小学数学课程价值体现的重要标志，应当让所有学生接受数学思想方法的熏陶，享受数学思想方法的优越与便利。

一、困境：普惠性，一个美丽的幻想

在数学校本研修活动中，我们欣喜地看到：随着小学数学教师年龄结构与知识结构的改善，他们对数学思想方法本体知识的认识程度有了明显提高，例如，能够根据某一个教学片段说出运用的数学思想方法，能结合一个具体文本简述某种思想方法的含义。但是，在谈到“小学阶段适时适度渗透数学思想方法”这一话题时，大家都认为：数学思想方法大多比较深奥难懂，小学阶段可以适度渗透数学思想方法，但只能适用于优秀学生，面向所有学生教学数学思想方法，那应该是中学、大学教师的事。小学数学的“双基”教学是必需的，至于数学思想方法，那就应该因人而异，“量体裁衣”。换言之，数学思想方法的普惠性，是一种不切实际的幻想。

在随后的课堂观察中，我们越来越强烈地感到数学思想方法已经被异化成了“象牙塔”中的稀罕物。许多教师将数学思想方法“神化”为“高、新、尖”技术，甚至与“奥数”画上了等号，视之为少数优秀学生的“专利”；一些教师平时将数学思想方法“束之高阁”，教学设计中难觅其踪影，到了“解决问题的策略”单元，才在教学目标中“贴”上思想方法的“标签”，课堂上再进行一番关于思想方法的“大剂量”灌输，以此作为“策略”教学的“点睛之笔”；大多数教师崇尚知识本位，目光局限于教材中关于数学知识的线索，单一地进行“显性知识”教学，忽略了对其中隐含的数学思想方法的深入挖掘。

很显然，大多数教师没有充分认识到数学思想方法对学生素养提升的重要性，但是更为严重的问题在于：那些为数不多的能够关注数学思想方法教学的教师，仍然感到困难重重，对“数学基础知识”和“数学思想方法”两者关系难以把握，对数学思想方法的目标纬度拿捏不准，在具体落实教学目标的时候，虽然力求改变让少数学生唱主角的局面，但是对于如何让所有学生有所经历、有所感悟，仍然办法不多，感到迷茫和困顿。

二、价值：普惠性，源于客观的需要

《数学课程标准》在总体目标中提出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。这一总体目标贯穿于小学和初中，充分说明了数学思想方法的重要性。在小学阶段有意识地向学生渗透一些基本的数学思想方法，可以加深学生对数学概念、公式、法则、定律的理解，提高学生解决问题的能力和思维能力，也能为今后数学学习力的提升打下良好的基础。

1. 小学数学思想方法教学的目标是“思维的滋润”。教学实践一再证明，数学思想方法是伴随着学生知识、思维的发展逐渐被理解的，学生对数学思想方法的感悟是在一次次亲身经历的数学活动中积累的。既然如此，数学思想方法的学习，就不是无本之末。让学生学会思维，善于思考，是数学学习的主要目标。缺少了数学思想方法的滋润，数学学习的内容就显得单薄和离散，学生的思维也显得被动和肤浅，不利于知识内化和学习能力的形成。

例如，“找规律（间隔排列）”的教学，通常有两种教学思路。一种思路是通过教材主题图中的三组排列实例归纳出规律，利用小棒和图片的排列来验证规律，进而结合生活实际应用规律。这种教学逻辑性强，规律揭示很顺畅，但是从教学效果看，学生虽然能够“熟记”规律，却不能灵活解决诸如“封闭、不封闭”、“两端都栽、只栽一端、两端都不栽”这类问题，更不能用数学观点统领“间隔排列”的现象。另一种思路是在深入钻研教材的基础上，真正把握“间隔排列”的实质：两种物体间隔排列，这两种物体的排列一一对应。对应，是间隔排列的本质。课堂教学中，通过“感知对应现象——激活对应思想——建构对应思想——升华对应思想”层层深入的教学行为，抓住蕴含在教材中的一一对应思想，有效统领种种纷繁复杂的现象，使学生真正感知了一一间隔排列的特点，扫清了思维上的障碍，层层推进认识的完善与引申。

2. 小学数学思想方法教学的过程是“无形的渗透”。客观地讲，数学思想和数学方法是有区别的。拿问题解决来说，数学思想着眼于宏观层面，是解决问题的指导思想，数学方法则是解决问题的具体手段。例如，用替换的策略解决问题，替换是具体的方法，方法的背后所体现出来的就是化归的思想。小学数学思想方法的教学不是片面强调数学思想方法的概念，也不是要求学生全面阐释对思想方法的理解，而是应该根据小学生年龄特点，把数学思想方法与知识技能、数学活动经验看成一个有机联系的整体，在知识的学习中、在经验的积累中加以适当渗透。

例如一年级“立体图形的正确计数”，不但要巩固学生已经获得的对简单几何体的直观经验，更应该教会学生一定的计数策略，否则准确计数的目标难以实现。对此，有经验的教师会引导学生进行计数策略的尝试。如在不同类立体图形上画上不同的标记，可以用符号，也可以用数字，边判别边标记，然后计数，这样分类清楚，便于检查，也能够达到不重复不遗漏的效果。作标记的目的看似指向计数的结果，实际上在不知不觉中渗透了符号化思想。

三、策略：普惠性，落实在细节的追求

数学思想方法不同于一般的概念和技能，后者一般通过短期的训练便能掌握，数学思想方法的教学更应该是一个长期渗透和潜移默化的过程。要让所有学生在小学阶段扎扎实实地感悟和理解一些数学思想方法，我们需要从务实的角度，以儿童的视角，把普惠性的理念落实到每一个教学细节当中。

1. 有清醒的认识：数学思想方法原本“朴素归真”。现在许多教师存在着认识上的误区：数学思想方法在数学学习活动中的体现一定是速度简捷，方法巧妙，那些不够“高级”的“笨”方法与数学思想方法不沾边。

其实，重要的思想方法往往能以极其朴素的形式表达出来。例如，一年级学生都做过这样一道题：8+（ ）=15，绝大多数学生经过一定时间训练，都能够达到脱口而出的程度。但是，设想一下，有这么一个学得很“慢”的学生，他需要一次次地去尝试：8+10，多了；8+5，少了，最后在5和10之间找到了正确答案。很多人认为这水平太低了，还需要去尝试吗？但是，请记住，每一道题是为所有学生准备的，他有选择自己方法的权利。再有，从数学思想方法的角度来说，这个“试”的过程比纯粹为了记住一个得数的训练要有意义得多。这个学生在尝试填数的过程中，对加法的一个最基本的性质有了体验：加得越多，得数越大。尽管这体验是不清晰的。王尚志教授更是把这个例子提到了函数思想的高度，“不提函数思想，也不用说单调性，这就是简单的渗透”。

再如，数形结合的思想一定是通过画图的形式体现出来，相比较而言，直接抽象算式，虽然简捷，但是面对高深、奇妙的算式，又能有几名学生能够真正领会呢？数学思想方法的生命力，不在于它的高深与玄妙，而在于它的朴素与简单。

2. 有准确的定位：数学思想方法立意在“朴素生长” 。在渗透思想方法时，应该尊重学生的想法，因为真正留得住并具有生长性的思想方法是在学生自然产生的朴素想法上的提升。基于学生自己的认识，又突出数学本质的方法，是实现数学思想方法普惠性目标的有效途径。

以“解决问题的策略——假设”为例，从解决问题的途径入手，所涉及的数学思想方法林林总总，有假设法、代数法，这都是比较简捷的方法。相比之下，通过列表进行列举，经过有限次的尝试最终求得结果，这种方法耗时多，有点繁琐，但是其中体现了尝试列举的数学思想。教材中提供的表格目的不在于解决这个问题本身，而在于借助这个问题让学生经历尝试和不断调整的过程，从中体会尝试列举思想。教材编写者的意图很清楚：起点低，易操作，全员参与。细细分析列举过程，学生还从中学会了估计、分析、调整等数学方法，还有对列举方法的优化：逐一列举——取中列举——跳跃列举，这和用假设法列式计算相比，难点降低了，开放性更强了，思维的灵活性更大了。

3. 有深邃的见地：数学思想方法讲究“见微知著”。小学数学教材中有两条线索：一是数学知识的线索，这是写在教材上的明线；另一条就是数学思想方法，这是隐含在教材中的，是一条暗线。前者容易理解，后者不易看明。教师要认真钻研教材，以教材为依托，挖掘教学内容中数学思想方法的渗透点，在日常教学行为中有机渗透。

例如，在“公倍数”的教学中，教材没有采用惯用的“短除法”“算”公倍数，而是让学生通过对两个数倍数的列举“找”公倍数。教材之所以呈现这种“通性通法”，正是因为它对所有学生是切合的，体现的数学思想方法同样是深刻的。

再如，第一学段教材没有编排解决问题策略的单元，但是，在解决每一个实际问题时都要分析数量关系，都在应用综合法或分析法的思路。如果教师在解决每一个实际问题时都能够有意识地引导进行解题思路的回顾，经常提出“你是怎么想的”“这一步为什么这样写”等问题，给学生充分的体验机会，那么学生有了初步的综合或分析思考的基础，到了以后解决较复杂问题的时候，就能够更好地使用综合与分析的策略，准确理解题意，顺利形成解题思路。

笔者在“画图”策略的教学过程中，采取了步步相扣的环节，水到渠成地让学生感悟画图的思想方法。首先，设计一道不用画图也可以解决的问题，放手让学生自己选择解决问题的方案，在多种方案展示中，让学生影响学生，不强求，重感悟；接着，安排一题多解的变式练习，引导学生从不同角度思考问题，自觉感悟到“那种最简捷的方法正是通过画图得到的”；最后，安排拓展练习，如果不用画图策略，解决问题就会陷入困境，学生就会自觉地投入到借助画示意图进行探索的学习活动中。在学生“初步感受——再次感悟——反复体验”的过程中，逐渐体现了数形结合的思想，形成了画示意图解决问题的策略。

4. 有长远的眼光：数学思想方法需要“一以贯之” 。如何通过一节课或一个单元的教学，有效提升学生对已经渗透过的数学思想方法的认识，合理渗透新的思想方法，已成为教学中一个不容回避的问题。

例如，“平行四边形面积”的教学，在“深入探究，理解原理”环节，学生通过“剪、拼”等活动感悟了转化思想的运用。面对转化思想“一点就通”的局面，笔者认为需要把转化思想的认识加深一步，于是提了一个问题：“前面把平行四边形框架拉成长方形，也就是转化成长方形，面积怎么变化了呢？”学生结合实物操作，指出了面积变大的原因，由此总结出：在运用转化的方法时，要注意区别不同情况，特别要想清楚，转化之后，什么变了，什么没有变。在观察、比较、分析等充满挑战性的过程中，学生对转化思想的认识又加深了一步。

值得一提的是，数学思想方法的教学绝非某一单元的事，在全册乃至整个小学阶段的教学中都需有机孕伏。还是以“转化”思想方法为例，解决问题的教学中，需要把“实际问题”转化为“数学问题”；在形体公式推导过程中，需要把“新”的图形转化为“已知”图形……诸如此类，教材中体现转化思想方法的内容还有很多，这就需要教师有长远眼光，把思想方法的理解感悟当做“长远工程”，达成目标。

总之，要真正落实《数学课程标准》关于数学思想方法的教学目标要求，需要以前瞻的视野，务实的角度，站在学生的立场，厘清小学数学思想方法的价值取向，寻找渗透数学思想方法的契机，激励每一个学生在各种情境下体验、使用，在教学全程中不断提及并强化。数学思想方法是数学的灵魂，我们有义务引领每一个学生与数学学习的“灵魂”亲密接触。

（编辑：陈诚）