建模思想在概率论教学中的应用意义研究

2022-03-04 08:33:51 | 浏览次数:

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(一)概率的计算

计算概率的常用方法有古典概型、几何概型、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式等。在日常生活中,生日相同问题、配对问题、掷骰子概率计算、抽签等问题均可用上述相应的方法进行计算。

(二)描述随机现象

在描述随机现象时,我们常采用的方法是用随机变量进行表达,便于用概率方法解决随机问题。许多随机分布都可以用随机变量来进行描述,比如二项分布、泊松分布、正态分布等。在计算随机问题的平均值及波动程度时,常采用随机变量的数学期望与方差进行表示。相关的应用实例有很多,比如突发事件概率的计算、选择题的给分标准、随机存储问题、正态分布问题等。

(三)不确定性问题

在问题比较复杂时,我们常采用多维随机变量来解决不确定性问题,根据多维随机变量的分布与数字特征对问题进行优化处理。主要的应用实例有配对问题、组合证券投资问题等。

四、基于数学建模思想的概率论教学案例

(一)概率加法公式及事件的独立性

生活中我们常听到谚语或俗语,其中很多能揭示数学思想。在概率论教学中,适当引入与概率有关的谚语可以充分调动学生的积极性,激发学生的思考,提升学生的参与度,培养学生用理论知识解决实际问题的能力。

例如,我们常听到“三个臭皮匠,顶一个诸葛亮”这句谚语。之所以说是“臭皮匠”,是因为其解决问题的能力很一般,用概率的原理来解释,就是他们每个人独立解决好问题的概率比较低。但是,三个“臭皮匠”一起解决问题,我们可以看成是独立事件的和事件,那么这个和事件的概率会增大还是减小呢?与“诸葛亮”相比又如何?

这里我们可以建立如下概率模型:设Ai为事件“臭皮匠i独立解决某问题”,i的取值为1,2,3;设事件B为“诸葛亮解决某问题”。根据谚语的意思,我们假设他们解决问题的概率分别为:

P(A1)=0.50

P(A2)=0.56

P(A3)=0.60

P(B)=0.90

假设他们相互独立地解决问题,那么三个臭皮匠解决问题的概率为:

P(A1∪A2∪A3)=1-P()=1-P()P()P()=1-0.50×0.54×0.40=0.892

由以上分析可知,三个解决问题能力并不突出的“臭皮匠”集中力量,解决问题的能力竟然与“诸葛亮”不相上下。如果有四个、五个甚至更多“臭皮匠”集中力量,“诸葛亮”们也难望其项背。

(二)泊松分布

在现实生活中,商场商品的销售量往往服从泊松分布,根据这一统计规律去进货才能保证不脱销。为科学管理,现有一家商场根据过去的销售记录发现,某商品的月销售量可以用参数λ=5的泊松分布,為了有95%以上的可能保证该商品不脱销,那么商场至少应该进多少的货?

假设该商品的月销售量为x,那么x~P(5),其分布律为P(x=k)=,k=0,1,2……为满足有95%以上的可能保证该商品不脱销,这种商品月初的库存m应使得P(x≤m)=0.95,进一步转化表达式可得

P(x>m)==0.01

查泊松分布表可得m=9,因此该商场要保证月初该商品的库存至少有9件。

与这个现实案例相类似,在车辆设计行业常根据人身高的正态分布性来设计车门的高度;商场为获取最大化的利益,常选择用数学期望等数理统计原理来确定进货量;风投行业在进行投资决策时经常会用期望、方差等统计结果进行最优的投资组合等。学习理论知识的最终目的就是为了解决现实问题,在概率论的教学过程中,教师要培养学生将所学到的数理统计知识应用于生活实际问题,而一个最为直接的途径就是在教学环节设置学生熟悉的问题情境,通过建立数学模型解决现实问题,让学生体会到数学工具的作用,既提高了学生的学习热情,又能让学生养成运用数学建模思想解决生活问题的习惯。

(三)多维随机变量

在多维随机变量问题中,“找庄家”是一个经典问题,下面设置如下情景,通过建立数学模型来解决这一生活问题:

麻将是我国许多地区的一种娱乐活动,需要从四个人中找出一位充当庄家。大多数玩家会选择投骰子来选择庄家。比如,随便一位玩家投掷两枚材质相同的骰子,若两枚骰子的点数之和为5点或9点,那么其本人为庄家;若两枚骰子的点数之和为2、6或10,那么其下家为庄家;若骰子点数之和为4、8或12,则其上家为庄家;若骰子点数之和为3、7或11,则其对家为庄家。教师可以在此问题情境下引导学生建立二维随机变量模型,通过联合分布及随机变量函数的概率分布来判断这种方法是否公平。

分别以x、y表示第一枚骰子和第二枚骰子,易知两者相互独立,(x,y)联合分布为:

记z=x+y,那么z的概率分布为:

综合上述分析,4人做庄的概率分别为:

P(Z=5)+P(Z=9)=2/9

P(Z=2)+P(Z=6)+P(Z=10)=1/4

P(Z=3)+P(Z=7)+P(Z=11)=5/18

P(Z=4)+P(Z=8)+P(Z=12)=1/4

通过上述分析可知,这样的找庄家方法并不公平。在此基础上,教师可以提出这样一个问题:怎样定骰子点数能够使得结果比较公平。经过思考不难得出结论:这4个人的点数之和分别为2,4,6点;8,9点;3,5,10点;7,11,12点时,每一个人做庄的可能性都是相等的,均为1/4。当然,要实现公平分配还有别的方法。通过这样一个案例,教师要引导学生在日常生活及学习过程中养成认真思考的习惯,学会用数学建模的思想方法解决概率问题。

五、结语

在师范院校的概率论教学中,将数学建模思想与课程教学相结合激发学生的创造性思维,同时也能强化学生对理论内容的运用能力。就课程教学而言,这一教学方式能够增加课堂教学的趣味性,也提高了学生学习的积极性。当然,在概率统计中融入建模思想的过程是漫长的,不能一蹴而就,需要一定量的课时去累积。课堂教学能够激发学生学习的积极性,能够引导学生借助数学知识去解决实际问题,但学生也要养成应用数学知识去分析问题、解决问题的习惯。

参考文献:

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